1. Proposiciones Lógicas

La proposici√≥n tienen muchos conceptos seg√ļn el enfoque de estudio, incluso en un¬†curso completo de l√≥gica y filosof√≠a resulta ser un tema muy extenso, pero para este capitulo de l√≥gica proposicional o¬†√°lgebra¬†de proposiciones, el estudio de las proposiciones l√≥gicas es un tema muy sencillo y elemental.

Tenga en cuenta que la lógica proposicional es un curso completamente informal, ya que el estudio de la lógica de manera formalizada define sus conceptos con la teoría de conjuntos, coexisten entre si y no es posible ni lógico desvincularlos (te lo digo por experiencia).

Sin mas que decir, comencemos con el concepto de proposición.

En matemática y lógica llamamos proposición o variable proposicional aquel enunciado que puede ser verdadero o falso, pero no los dos a la vez.

Si bien es cierto que los ejemplos que mostraremos en breve son puramente literales, la lógica proposicional no tiene en cuenta la estructura del argumento, sino de los valores de verdad que en ellas reside.

Es cosa nuestra averiguar si el argumento es verdadero o falso y eso es lo √ļnico que estudia la l√≥gica proposicional, por esta raz√≥n, las proposiciones en matem√°ticas se simbolizan con letras min√ļsculas sin importar el tipo de argumento estudiado, pero esto lo veremos mas adelante. Veamos los siguientes ejemplos proposicionales de manera literal.

Ejemplos de proposiciones lógicas

  1. Todos los perros tiene cuatro patas. (Verdadero)
  2. Una gallina es un perro. (Falso)
  3. La gallina tiene cuatro patas. (Falso)
  4. Si los perros tiene cuatro patas y la gallina es un perro, entonces la gallina tiene cuatro patas. (Verdadero) en el apartado del¬†contexto l√≥gico explico el valor de verdad de esta extra√Īa incongruencia.

En ling√ľ√≠stica, estas proposiciones se les conoce como oraciones aseverativas, sin embargo, el concepto de proposici√≥n es completamente diferente en la teor√≠a ling√ľ√≠stica, tambi√©n podemos presentar distintos enfoques del concepto de proposici√≥n seg√ļn el √°rea de estudio, comenzaremos por el contexto etimol√≥gico.

Contexto etimológico

La proposici√≥n viene del lat√≠n ‚Äúpropositio‚ÄĚ y literalmente hablando significa a¬†favor o acci√≥n de proponer, al parecer, indica una propuesta de algo a alguien.

Contexto Coloquial

En este contexto, una proposici√≥n puede referirse a la idea misma para expresar una situaci√≥n que previamente hab√≠amos pensado, es decir, decidido, ¬ŅPero con que objetivo?, tenemos dos casos alternos:

  • Para indicarle una posibilidad o alternativa de aceptaci√≥n voluntaria a una segunda persona.
  • O una propuesta a notros mismos, es decir, fijarnos un determinado fin.

Contexto Gramatical

En gram√°tica, una proposici√≥n es una oraci√≥n con sujeto y predicado, con la capacidad de lograr otros significados similares o distintos si le a√Īadimos o quitamos palabras (complementos) sin que pierda su significa particular.

De hecho, puede relacionarse con otras proposiciones para formar una oración mas grande, es decir, oraciones compuestas.

Ejemplo: ‚ÄúLa mayor√≠a de mis amigos se van de paseo al cuzco en un tren que resulta ser super r√°pido y acampar all√≠ para comer tallarin verde junto con sus madres‚ÄĚ. Las siguientes proposiciones de esta oraci√≥n pueden ser las siguientes.

  • La mayor√≠a de mis amigos se van del paseo.
  • Mis amigos se van de paseo.
  • Mis amigos se van acampar all√≠
  • Un tren que resulta ser super r√°pido.
  • Mis amigos comer√°n junto con sus madres.
  • Comer√°n tallarin verde junto con sus madres.
Creo que ya se entendido la idea.

Contexto Lógico

Siendo este tipo de proposición el tema central de la sección actual, decimos entonces que una proposición es un enunciado que puede ser verdadero o falso.

Por tal razón, una proposición debe tener una estructura bien formalizada que de cuenta de la lógica de la realidad como la lógica de lo abstracto (como las matemáticas) incluso si entre ellas mismas se contradicen.

Por ejemplo: Si decimos que todos los n√ļmeros pares son de color verdes, entonces el numero 4 es de color verde, en el contexto de la realidad es il√≥gico pensar que los n√ļmeros se pueden clasificar por colores, pero en lo abstracto, la l√≥gica de la conclusi√≥n es verdadera.

Contexto Filosófico

En el contexto filosófico, una proposición es un juicio de valor que expresa algo (predicado) sobre un sujeto de la oración, en otras palabras afirma o niega algo. Ojo, no se ha dicho nada si la negación o afirmación es verdadera o falsa.

En este caso, la proposición no es mas que una emision de información de un juicio por medio de una oración sea verbal o escrita. Por ultimo, es criterio de nosotros indicar si resulta ser verdadera o falsa.

Contexto desde la lógica de primer orden

En la lógica de primer orden o lógica de predicados no solo se toma en cuenta el valor de verdad de una proposición, sino también al sujeto y predicado de los argumentos aseverativos, sin embargo, desde este contexto también toma en cuenta los enunciados abiertos, estos son llamados funciones proposicionales y se les asigna un valor especifico para transformarlos en variables proposicionales es decir, proposiciones lógicas.

La lógica de primer orden realiza un estudio mas profundo de la lógica de un argumento, le interesa como esta escrito el argumento y existen una serie de conceptos que incluye de manera obligatoria y necesaria a la teoría de conjuntos.

Valor de verdad de un enunciado

En lógica proposicional no se toma en cuenta al sujeto y predicado, por lo menos no de manera simboliza (ya te explicaré mas adelante el porque), aunque para estudiar el valor de verdad de una proposición, es necesario resaltar tanto al sujeto y predicado. Un estudio mas formal del sujeto y predicado se puede estudiar en un curso de lógica de primer orden.

El sujeto es la variable y el predicado es el juicio de la variable, y el valor de verdad de un enunciado depende de lo que dice el predicado de la variable. Si el sujeto es una variable conocida, entonces el enunciado es una proposición, si el sujeto es una variable desconocida, entonces este tipo de enunciados se les llama enunciados abiertos.

La lógica del valor de verdad

El valor de verdad de una proposici√≥n no necesariamente “habla” de la realidad en que vivimos y el sentido com√ļn y corriente de nuestro entorno palpable, tambi√©n puede ser abstracto, incluso si dicha abstracci√≥n es il√≥gica para aquellas proposiciones que habla sobre la realidad.

Ejemplos

  1. Si los espa√Īoles son europeos y Alejandro Sanz es espa√Īol, entonces, Alejandro Sanz es europeo.
  2. Si los n√ļmeros pares son de color verde, entonces el numero 4 es de color verde.

La proposición 1 habla sobre una realidad palpable, sin embargo, la lógica proposicional no toma en cuenta el argumento, sino el valor de verdad que nosotros le asignemos, en este caso, la semántica de los argumentos en lógica proposicional queda sobreentendida.

La proposici√≥n 2 es incongruente con la realidad, los n√ļmeros no se pueden clasificar en colores, son entes intangibles, sin embargo, al tomar de manera abstracta la l√≥gica de la premisa como verdadera (los n√ļmeros pares son verdes), la conclusi√≥n resulta ser correcta y l√≥gica.

No toda proposición tiene sujeto.

Esto solo aplica aquellas proposiciones con escritura gramatical y no desde el lenguaje matem√°tico, Un ejemplo de una proposici√≥n seg√ļn sea la circunstancias del caso pueden presentarse seg√ļn los siguientes ejemplos.

  • Es de d√≠a. Puede ser verdadero seg√ļn la circunstancias, por ejemplo, puedes determinar su valor de verdad en el momento que estas leyendo estos p√°rrafos, dime tu ¬ŅEs de d√≠a o es de noche?.
  • Hoy llueve“. puede ser verdadero si resulta ser cierto o falso si no es el caso.
Sin embargo, en matemáticas es muy necesario la existencia de sujetos en las proposiciones ya que estas pueden ser representados por variables o valores numéricos o complejos.

Enunciado abierto

Llamamos enunciado abierto cuando el sujeto es una variable desconocida para el predicado de un enunciado dado, en otras palabras, no sabemos si puede ser verdadera o falsa.

Los enunciados abiertos también llamadas funciones proposicionales representan incertidumbre ya que no tenemos datos del sujeto y simplemente no sabemos si son verdaderos o falsos.

El predicado solo afirma o niega algo del sujeto, un sujeto incógnito o indefinido. Pero cuando el sujeto admite un valor fijo, el enunciado abierto se transforma en una proposición donde este puede ser falso o verdadero.

Sin embargo, no es necesario que los sujetos de las enunciados abiertos les asignemos un valor dado para transformarlo en proposiciones, a este tipo de enunciados se les puede agregar unas frases especiales que tiene un símbolo especial llamadas cuantificadores, esto lo estudiaremos en las ultimas secciones de lógica proposicional.

Ejemplos

  • x¬†<¬†7¬†es un enunciado abierto. (La variable x¬†es una inc√≥gnita)
  • Ella es muy bella. (“Ella” es una inc√≥gnita)
  • El grupo esta muy contento. (“Grupo” es una inc√≥gnita)

En estos ejemplos, la variables x, Ella y Grupo son incógnitas, lo que implica que los enunciados dados son enunciados abiertos.

Proposiciones simples y compuestas

Generalmente las proposiciones se pueden catalogar en proposiciones simples y compuestas, una contiene a la otra, aunque tambi√©n se les llama proposiciones particulares y universales respectivamente, pero en el transcurso del curso de l√≥gica proposicional esta distinci√≥n resulta muy poco √ļtil y solo es meramente reverencial, ya se dar√°n cuenta a medida que desarrollemos el curso.

Proposición simple o atómica

Las proposiciones simples o atómicas son aquellas proposiciones que tienen un sujeto y predicado.

Ejemplos de proposición simple

  1. Lima es la capital de Per√ļ.
  2. La lógica proposicional estudia los valores de verdad de las proposiciones.
  3. Los peces viven en el mar.

Las palabras en color rojo son los sujetos, y en verde los predicados. Como vemos que estas proposiciones tienen a lo mas un sujeto y predicado, entonces son proposiciones simples o atómicas, también son llamados proposiciones particulares. Ahora ya sabes lo que es una proposición simple.

Nota: Para la l√≥gica formal, el predicado en el primer ejemplo resulta ser “es la capital de” y los sujetos “Lima” y “Per√ļ”. La raz√≥n es muy sencilla, la l√≥gica formal generalmente estudia variables, es decir, enunciados abiertos, ya que el enunciado 1 puede escribirse como “x¬†es la capital de y” donde x¬†e¬† y¬†son los sujetos del enunciado.

Pero en el curso de la l√≥gica proposicional solo nos referiremos al concepto de predicado desde el punto de vista de la gram√°tica de la literatura ling√ľ√≠stica.

Proposición compuesta o molecular

Las proposiciones compuestas o moleculares son aquellas proposiciones que tiene por lo menos dos sujetos o dos predicados.

Una propiedad de las proposiciones compuestas, también llamadas proposiciones universales, es que se pueden separar en proposiciones atómicas.

Ejemplos de proposición compuesta

  • Ana y Mar√≠a son abogadas, son dos proposiciones compuestas y se pueden separar en dos proposiciones at√≥micas: “Ana es abogada” y “Mar√≠a es abogada“.
  • Mi perro tiene orejas y cola“, se puede separa en “Mi perro tiene orejas” y “Mi perro tiene cola“.
  • Lucho es gracioso o sarc√°stico“, se puede separar en “Lucho es gracioso” y “Lucho es sarc√°stico“.
  • Si x¬†es un numero par, entonces x¬†es un numero entero“, se puede separar en “x¬†es un numero par” y “x¬†es un numero entero“.

Las palabras en color lila son conectores lógicos, importantes para unir proposiciones, pero antes de tratar con ellas, veamos como se representan simbólicamente las proposiciones lógicas. Ahora ya sabes lo que es una proposición compuesta.

Representación matemática de las proposiciones

La lógica de proposiciones a nivel simbólico es pobre porque no hay un análisis matemático de la estructura de los argumentos como lo hace la lógica de primer orden, la lógica proposicional solo se limita a estudiar las propiedades de los conectores lógicos.

Otro punto en contra es que la simbolización de las proposiciones es limitante ya que no realiza ninguna distinción entre una proposición simple y compuesta. Veamos algunos ejemplo de como podemos representar simbólicamente las proposiciones.

Ejemplos

  • p:¬†mi loro es verde.
  • q:¬†mi perro tiene cuatro patas.
  • r:¬†mi loro es verde y mi perro tiene cuatro patas.
    En este caso, podemos escribir así r = p y q.

Tipos de proposiciones lógicas

Existen solo 6 tipos de proposiciones l√≥gicas y se clasifican seg√ļn el conector l√≥gico que estas admitan, veamos 6 ejemplos que diferencian a este tipo de proposiciones.

Ejemplos

  • Aquellas aves tiene alas¬†y¬†los¬†ping√ľinos no vuelan. (Conjunci√≥n)
  • Los perros tienen cuatro patas¬†o¬†el gato tiene cola. (Disyunci√≥n l√≥gica)
  • O¬†estoy con fr√≠o¬†o¬†estoy con calor. (Disyunci√≥n exclusiva)
  • Si¬†los perros tiene cuatro patas, entonce¬†es cuadrupedo. (Condicional)
  • x¬†es par si y solo si¬†x¬†‚Ȇ¬†2n¬†+¬†1. (Bicondicional)
  • Los gatos no son peces. (Negaci√≥n)

Solo las proposiciones compuestas admiten los conectivos lógicos, la proposición simple no admite ninguna.

Relación Proposición-valor de verdad.

Si tenemos 4 proposiciones¬†p,¬†q,¬†r¬†y¬†s¬†donde pueden ser verdaderas¬†V¬†y falsas¬†F, podemos encontrar una relaci√≥n “proposici√≥n-valor de verdad”, esto es, una correspondencia entre proposiciones y sus valores de verdad tal como se muestra en el siguiente diagrama.

Diagrama de la correspondencia entre proposiciones y valores de verdadSi existe un conjunto de proposiciones¬†P¬†=¬†{p_1, p_2, p_3, … p_n} y un conjunto de valores de verdad¬†V¬†=¬†{V,¬†F}, la relaci√≥n entre¬†P¬†y¬†V¬†es:

f(p_m )={‚Ė†(V,si p_n es verdadera@F,si p_n es falsa)‚Ē§

Donde p_n puede ser verdadera o falsa, pero no ambas a la vez. Esto se le llama correspondencia f de P a V.

Conectivas lógicas en las proposiciones

Existen 6 conectivas lógicas y son la conjunción, disyunción inclusiva, disyunción exclusiva, condicional, bicondicional y la negación, esta ultima no es exactamente un conectivo lógico, resulta un operador que afecta a una sola proposición. Veamos cada una de ellas.

Negación lógica

La negaci√≥n l√≥gica a nivel ling√ľ√≠stico cambia el valor de verdad de una proposici√≥n, tambi√©n es capaz de cambiar una afirmaci√≥n a una negaci√≥n o viceversa.

El s√≠mbolo de la negaci√≥n l√≥gica es “~” y si tenemos una proposici√≥n¬†p, la negaci√≥n de dicha proposici√≥n ser√≠a¬†~p.

Ejemplos

  • p: Los seres humanos tienen dos pies (Verdadero).
    ~p: Los seres humanos no tienen dos pies (Falso).
  • q: El sistema operativo Ubunto no es de Microsoft (Verdadero).
    ~q: El sistema operativo Ubuntu es de Microsoft (Falso).

Conjunción lógica

La conjunción lógica es una conectiva lógica que une dos proposiciones, si las dos proposiciones son verdaderas, entonces la conjunción es verdadera, si por lo menos una de ellas es falsa, entonces la conjunción es falsa.

La letra “y” es la conjunci√≥n l√≥gica con s√≠mbolo “‚ąß“, si tenemos dos proposiciones¬†p¬†y¬†q, la conjunci√≥n entre estas proposiciones es¬†p¬†‚ąß¬†q.

Ejemplos

  • p: Los perros tienen 2 orejas.
    q: Los perros tiene 4 patas.
    p¬†‚ąß¬†q: Los perros tiene 2 orejas y 4 patas.
  • r: Los n√ļmeros pares son n√ļmeros naturales.
    s: los n√ļmeros primos son n√ļmeros naturales.
    r¬†‚ąß¬†s: Los n√ļmeros pares y primos son n√ļmeros naturales.

Disyunción lógica

Tambi√©n se le llama disyunci√≥n inclusiva, generalmente se representa por la letra “o” y simb√≥licamente se escribe “‚ą®“. Si tenemos dos proposiciones¬†p¬†y¬†q, la proposici√≥n formada por la disyunci√≥n l√≥gica ser√≠a¬†p¬†‚ą®¬†q.

El valor de verdad de la disyunción lógica es falsa si las dos proposiciones que las forman es falsa, y la disyunción lógica es verdadera si por lo menos una proposición es verdadera.

Ejemplos

  • p: Los perros tienen 2 patas.
    q: Los perros tiene 4 patas.
    p¬†‚ą®¬†q: Los perros tiene 2 patas¬†o 4 patas.
  • r: Los n√ļmeros pares son n√ļmeros naturales.
    s: los n√ļmeros primos son n√ļmeros naturales.
    r ‚ą®¬†s: Los n√ļmeros pares o primos son n√ļmeros naturales.

Disyunción Exclusiva

La disyunci√≥n exclusiva es un conectivo l√≥gico representado por el s√≠mbolo¬†‚Ė≥ que tiene como propiedad incluir solo aquellas proposiciones donde una y sola de las dos proposiciones debe ser verdadera para que la disyunci√≥n exclusiva sea verdadera, en caso contrario siempre ser√° falsa.

Si tenemos dos proposiciones¬†p¬†y¬†q, la proposici√≥n formada por la disyunci√≥n exclusiva se representa as√≠¬†p¬†‚Ė≥¬†q. Literalmente se representa por la letra “o” dos veces as√≠ “o proposici√≥n 1 o proposici√≥n 2“, veamos los siguientes ejemplos.

Ejemplo

  • p: Rosa est√° fuera de casa
    q: Rosa est√° dentro de casa.
    p ‚Ė≥¬†q: Rosa¬†o¬†esta fuera de casa o dentro de casa.
  • r: Es de d√≠a.
    s: Es de noche.
    r ‚Ė≥¬†s: O es de d√≠a o es de noche.

Condicional lógica

También se le llama condicional material y algunas veces se le confunde con la implicación lógica cuando realmente tienen significadores diferentes pero similares.

La condicional lógica trabaja tomando una primera proposición como condición y una segunda proposición como conclusión, pero solo se centra en el valor de verdad mas no en su argumento.

Se simboliza con una flecha hacia la derecha as√≠¬†‚Üí¬†tal que para dos proposiciones¬†p¬†y¬†q¬†llamadas premisa y conclusi√≥n respectivamente, forman una nueva proposici√≥n de la forma¬†p¬†‚Üí¬†q¬†y se lee “si p¬†entonces¬†q“.

Ejemplo

  • p: Hoy llueve.
    q: El piso esta mojado.
    p → q: Si hoy llueve, entonces el piso esta mojado.
  • r: Hoy sale el sol.
    s: Manuel saldr√° de casa hoy.
    r → s: Si hoy sale el sol, entonces Manuel saldrá de casa.

bicondicional lógica

La bicondicional lógica es una doble condicional, esto es, la premisa y la conclusión pueden ser también la conclusión y la premisa respectivamente.

Simb√≥licamente la bicondicional l√≥gica se representa as√≠¬†‚ÜĒ¬†tal que para dos proposiciones¬†p¬†y¬†q, la proposici√≥n formada por la bicondicional es¬†p¬†‚ÜĒ¬†q, se lee “p¬†si y solo si q“.

La proposición p es premisa de la conclusión q como también q puede ser premisa de la conclusión p.

Ejemplo

  • p: El sol ha salido.
    q: Es de día.
    1. p ‚ÜĒ¬†q: El sol ha salido si y solo si es de d√≠a.
    2.¬†q¬†‚ÜĒ¬†p: Es de d√≠a si y solo si el sol ha salido.
  • r: 8¬†es par.
    s: 8¬†es m√ļltiplo¬†de¬†2.
    r ‚ÜĒ¬†s: 8¬†es par si y solo si es m√ļltiplo¬†de¬†2.
    s¬†‚ÜĒ¬†r:¬†8¬†es m√ļltiplo¬†de¬†2¬†si y solo si es par.

Tabla de verdad de los conectivos lógicos

Aquí te presento un resumen de la tabla de valores de verdad de todos los conectivos lógicos estudiados brevemente hasta el momento. Cada una de estas tablas lógicas nos indica el comportamiento de cada una de las conectivas lógicas que mas adelante trataremos con mas detalle.

Negación Lógica

p~ p
VF
FV

Conjunción Lógica

pqp¬†‚ąß¬†q
VVV
VFF
FVF
FFF

Disyunción lógica

pqp¬†‚ą®¬†q
VVV
VFV
FVV
FFF

 Disyunción inclusiva

pqp¬†‚Ė≥¬†q
VVF
VFV
FVV
FFF

Condicional lógica

pqp → q
VVV
VFF
FVV
FFV

Bicondicional lógica

pqp¬†‚ÜĒ¬†q
VVV
VFF
FVF
FFV

Proposiciones equivalentes

Las proposiciones lógicas se puede escribir de diferentes maneras alterando solo sus conectivos lógicos tal que su valor de verdad quede inalterado.

Por ejemplo, un proposici√≥n equivalente a “Los perros tiene cuatro patas” es “No es cierto que los perros no tengan cuatro patas”, la segunda proposici√≥n es una doble negaci√≥n de la primera y dicen exactamente lo mismo. Veamos mas ejemplos.

Ejemplo

  • “El numero 4 es un numero par”¬†es equivalente aEs falso que el numero 4 no sea par“.
  • “Si hoy llueve, entonces el piso se mojar√°”¬†es equivalente aSi el piso no se ha mojado, entonces hoy no ha llovido“.
  • “Si como mucho dulce, entonces me saldr√° sarro”¬†es equivalente aEs falso que coma mucho dulce o me saldr√° sarro“.
Con un poco de an√°lisis mental, notar√°n que estas proposiciones son completamente equivalentes.

Algunas leyes lógicas

Teniendo en cuenta las conectivas lógicas y las proposiciones equivalentes, se puede inferir una serie de leyes proposicionales, leyes lógicas o leyes de simplificación lógica que las proposiciones (como también los enunciados abiertos) pueden cumplir. Aquí te mostraremos algunas leyes lógicas:

Nombre

Esquema Molecular

Ley de involución

~ ( ~¬†p)¬†‚Č°¬†p

Leyes de idempotencia

p¬†‚ąß¬†p¬†‚Č°¬†p

p¬†‚ą®¬†p¬†‚Č°¬†p

Leyes conmutativas

p¬†‚ąß¬†q¬†‚Č°¬†q¬†‚ąß¬†p

p¬†‚ą®¬†q¬†‚Č°¬†q ‚ą®¬†p

p¬†‚Ė≥¬†q¬†‚Č°¬†q ‚Ė≥¬†p

p ‚ÜĒ¬†q¬†‚Č°¬†q ‚ÜĒ¬†p

Leyes asociativas

(p¬†‚ąß¬†q)¬†‚ąß¬†r¬†‚Č°¬†p¬†‚ąß¬†(q¬†‚ąß¬†r)

(p ‚ą®¬†q) ‚ą®¬†r¬†‚Č°¬†p ‚ą®¬†(q ‚ą®¬†r)

(p ‚Ė≥¬†q) ‚Ė≥¬†r¬†‚Č°¬†p ‚Ė≥¬†(q ‚Ė≥¬†r)

(p ‚ÜĒ¬†q) ‚ÜĒ¬†r¬†‚Č°¬†p ‚ÜĒ¬†(q ‚ÜĒ¬†r)

Leyes distributivas

p¬†‚ąß¬†(q¬†‚ą®¬†r)¬†‚Č°¬†(p¬†‚ąß¬†q) ‚ą®¬†(p¬†‚ąß¬†r)

p ‚ą®¬†(q ‚ąß¬†r)¬†‚Č°¬†(p ‚ą®¬†q) ‚ąß¬†(p ‚ą®¬†r)

p ‚Üí¬†(q ‚ąß¬†r)¬†‚Č°¬†(p ‚Üí¬†q) ‚ąß¬†(p ‚Üí¬†r)

p ‚ÜĒ¬†(q ‚ąß¬†r)¬†‚Č°¬†(p ‚ÜĒ¬†q) ‚ąß¬†(p ‚ÜĒ¬†r)

Leyes de Morgan

~¬†(p¬†‚ąß¬†q)¬†‚Č°¬†~¬†p¬†‚ą®¬†~¬†q

~¬†(p¬†‚ą®¬†q)¬†‚Č°¬†~¬†p¬†‚ąß¬†~¬†q

Leyes condicionales

p¬†‚Üí¬†q¬†‚Č°¬†~¬†p¬†‚ą®¬†q

~¬†(p¬†‚Üí¬†q)¬†‚Č°¬†p¬†‚ąß¬†~¬†q

Leyes bicondicionales

p ‚ÜĒ¬†q¬†‚Č°¬†(p¬†‚Üí¬†q) ‚ąß¬†(q¬†‚Üí¬†p)

p ‚ÜĒ¬†q¬†‚Č°¬†(p¬†‚ąß¬†q)¬†‚ą® (~¬†p¬†‚ąß¬†~¬†q)

Leyes de absorción

p¬†‚Üí¬†q¬†‚Č°¬†~¬†q¬†‚Üí¬†~¬†p

p ‚ÜĒ¬†q¬†‚Č°¬†~¬†q ‚ÜĒ¬†~¬†p

Estos son solo algunas de las leyes lógicas que podemos formar con los conectivos lógicos. Existen otras leyes como la Tautología, contradictoria, y contingencia, pero todo ello lo veremos en otras secciones con sus definiciones y ejemplos respectivos del curso de lógica.

SEM√ĀNTICA Y SINT√ĀCTICA DE UNA PROPOSICI√ďN

Los enunciados sem√°nticos tiene un car√°cter intuitivo, la sem√°ntica de los enunciados refiere al significado, a la interpretaci√≥n que le asignemos a los enunciados formados por s√≠mbolos y caracteres bien definidas de un lenguaje ling√ľ√≠stico.

Los enunciados que hemos estudiado en mayor proporción son las proposiciones, estos adquieren una semántica tal que puede ser determinadas por ser verdaderos y falsos.

Podemos estudiar la sem√°ntica desde 3 √°ngulos, estas son, la sem√°ntica ling√ľ√≠stica, la¬†sem√°ntica¬†l√≥gica¬†y la sem√°ntica de las ciencias cognitivas (psicolog√≠a). Naturalmente esta secci√≥n se ha centrado en la sem√°ntica l√≥gica.

Por ejemplo, supongamos que no supieras leer, por lo que jam√°s podr√≠as lograr entender estos p√°rrafos, lo √ļnico que ver√°s es un conjunto de caracteres extra√Īos sin significado.

Pero si me lees hasta aquí es porque sabes lo que estoy diciendo, porque para que estas líneas sean inteligibles no sólo debemos de proveer de un significado estandarizado sino también deben tener un orden específico y también estandarizado para su comprensión, sin embargo, hay otros estándares que no lograrás comprender como el de un programador, ya que usamos los mismos caracteres para realizar programas y/o crear páginas web por código como esta imagen:

código html de una pagina web

Este es un fragmento de c√≥digo de la publicaci√≥n del cap√≠tulo de proposiciones que est√°s comenzando a leer ahora mismo. Como puedes ver, usamos los mismos caracteres con algunos s√≠mbolos m√°s para estructurar esta entrada. Lo que hace luego tu explorador web como Google Chrome, Mozilla, Opera o cualquier otro navegador web es ‚Äúrenderizarlo‚ÄĚ para que lo puedas ver a tu idioma, tal como tu lenguaje lo entiendes.

Podemos decir entonces que la sem√°ntica es lo que tu interpretas seg√ļn el lenguaje con que est√°s familiarizado, por lo general, para que la comunicaci√≥n sea fluida y compartida entre todos, debe ser una sem√°ntica estandarizada.

En l√≥gica proposicional es igual, tiene un est√°ndar, aunque limitado, pero sirve para entender como se comportan las proposiciones por medio de los conectivos l√≥gicos y los signos de agrupaci√≥n, por lo general, las proposiciones se simbolizan con letras min√ļsculas como p, q¬†y r¬†tal que pueden ser determinados como verdaderos¬†V¬†y falsos F, estos valores de verdad son los √ļnicos valores sem√°nticos formalizados en l√≥gica proposicional, en cuanto la sem√°ntica del significado de los argumentos de las proposiciones dadas se toman de manera intuitiva pero no son parte del estudio de la l√≥gica proposicional pero si del estudio de la l√≥gica de predicados o l√≥gica de primer orden.

Diferencia de entre un enunciado y una proposición

Vamos a aclarar las diferencias entre un enunciado y una¬†proposici√≥n. Los enunciados son un acto de habla expresado por medio de una oraci√≥n y no son oraciones propiamente dicha, los enunciados dependen en qu√© contexto se hable, porque las oraciones son √ļnicamente “un conjunto de¬†palabras¬†que expresa un juicio (si es que existe) con sentido completo y autonom√≠a sint√°ctica”, es decir, un conjunto de palabras que dicen algo y nosotros somos lo que le damos una interpretaci√≥n.

Una oraci√≥n puede significar diferentes enunciados seg√ļn el contexto que est√©, por ejemplo:

  • La¬†oraci√≥n x 7.¬†no sabemos si el valor de x¬†es un n√ļmero real, un n√ļmero complejo, incluso un grupo de personas, animales o cualquier otra cosa porque no se especific√≥ el valor de x.

Y al revés, diferentes oraciones pueden significar el mismo enunciado, por ejemplo:

  • ¬ŅCual es el valor de x?
  • Hallar el valor de x.
  • Averiguar el valor de x.
  • ¬ŅCual ser√≠a el valor de x?

Tomemos como ejemplo al siguiente enunciado x 7, esta es una oración aseverativa que afirma que x es menor que 7. Estas afirmaciones son dudosas porque no hay más datos que reafirman que el valor de x sea menor que 7, simplemente no se sabe si es verdadero o falso.

función proposicional

Algunas veces los enunciados abiertos se le llama tambi√©n funciones proposicionales cuando se trabaja en otras ramas de la matem√°tica para alejarse del contexto ling√ľ√≠stico gramatical y acercarse mas conceptos puramente matem√°ticos.

Una funci√≥n proposicional no necesariamente se le debe asignar un valor especifico para que sea una proposici√≥n, es posible lograr tal transformaci√≥n con los cuantificadores com√ļnmente conocidos con las palabras “Para todo” y “Existe alguno”, aunque existen otras categor√≠as que transforman las funciones proposicionales en proposiciones que podemos estudiar en un tema mas avanzado de l√≥gica llamado proposiciones categ√≥ricas.

Las proposiciones en la lógica de primer orden

La lógica de primer orden o la lógica de predicados es una extensión de la lógica proposicional, estudia la estructura de los argumentos, generalmente de los enunciados abiertos ya que toma muy en cuenta al sujeto como variable, en esta rama de la lógica matemática, se le suele llamar a estos enunciados como funciones proposicionales y toma en cuenta lo siguiente:

  • Variable: Puede representar un sujeto indeterminado, sin embargo, tambi√©n puede representar un predicado indeterminado.
  • Constante: Representa un valor definido de la variable de una funci√≥n proposicional, generalmente un valor especifico del sujeto.
  • Funciones: Son operadores aplicados a las variables sea del sujeto o del predicado.
  • Conectores l√≥gicos: son operadores que vinculan afirmaciones para formar otras afirmaciones.
  • Cuantificadores (muy relacionado con las proposiciones categ√≥ricas): Solo existen dos, el cuantificador universal y existencial, son capaces de transformar las variables en constantes sin necesidad de darle un valor especifico a las variables. Un ejemplo es tomar en cuenta todos los n√ļmeros pares sin importar cual sea, este argumento lo estudia el cuantificador universal, en contraste, si una propiedad cumple por lo menos con un numero par sin importar que cumpla para todos (y sin importar quien sea), esto lo estudia el cuantificador existencial.

Uno de los puntos fuertes de la lógica de primer orden es la capacidad de formalizar la teoría de las demostraciones, con ello, podemos desarrollar toda la matemática en la actualidad.

Para lograrlo, la clasificación que acabos de indicar hace un momento se simbolizan matemáticamente para desarrollar un argumento mas solido que la lógica proposicional es incapaz de lograr, pero por su formalidad estricta de esta rama, la lógica de predicados debe tomar muy en cuenta la sombolización de los predicados, signos de puntuación y los signos relacionales (el signo igual).

De esta manera, la lógica de primer orden es capaz de diferenciar una proposición atómica de una molecular a nivel simbólico, algo que no es capaz de hacer lógica de proposicional, esta ultima también llamada lógica de orden cero o lógica de enunciados.

Referencias

  • L√≥gica ‚Äď Matem√°tica b√°sica | novena edici√≥n ‚Äď Ricardo Figueroa.
  • Nociones de l√≥gica ‚Äď Matem√°tica b√°sica | novena edici√≥n ‚Äď Mois√©s L√°zaro
  • Introducci√≥n de la l√≥gica matem√°tica ‚Äď L√≥gica Matem√°tica | Carlos Ivorra.
  • L√≥gica proposicional, proposici√≥n, enunciado abierto, sem√°ntica ‚Äď wikipedia y wikiversity