1. Potenciaci贸n y sus leyes

Leyes de la potenciaci贸n, reglas de los exponentes enteros

Hola!!, Hoy desarrollaremos la teor铆a de la potenciaci贸n donde el exponente es puramente entero y sus 5 principales leyes de la potenciaci贸n.

Tambi茅n hay que tener muy en cuenta las leyes de los signos cuando desarrollemos algunos ejercicios al final de la secci贸n.

Importante: Esta es una secci贸n corregida y aumentada de mi anterior web llamada Ciencias B谩sicas con el mismo titulo “leyes de la potenciaci贸n” con una serie de errores corregidas para esta secci贸n.

驴Que hay de nuevo en esta nueva secci贸n corregida?: Hemos corregido la ortograf铆a y errores matem谩ticos con algunas teor铆as a帽adidas y 10 ejercicios resueltos muy interesantes para que te diviertas. Sin mas que decir, comencemos:

Definimos聽potenciaci贸n a la operaci贸n matem谩tica que consiste en multiplicar un numero denominado base tantas veces como lo indique otro numero llamado exponente. Por ello definimos 3 t茅rminos llamados base, exponente y potencia, este ultimo es el resultado al resolver la potenciaci贸n.

Simb贸licamente se puede representar en el siguiente esquema:

a^n=a鈭檃鈭檃鈥=P

Donde:

  • Notaci贸n:聽\(聽 \color{Blue} {a}^{\color{red}{n}} \)
  • Definici贸n:聽\( \color{blue}{a} \cdot聽\color{blue}{a}聽\cdot聽\color{blue}{a} …聽 \color{blue}{a} \)
  • Resultado:聽\( \color{Green}{P} \)

Tal que:

  • \( \color{blue}{a} \) es la base.
  • \( \color{red}{n} \)聽es el exponente.
  • \( \color{green}{P} \)聽es la potencia.
Esta operaci贸n nos facilita simplificar la repetitiva operaci贸n de multiplicar varias veces un mismo numero, lo que significa que el exponente \( n \) es un numero natural, que generalmente se usa para conteo.

Ejemplos de uso de la potenciaci贸n

Estos ejemplos sirven para usar correctamente la notaci贸n de la definici贸n de potenciaci贸n:

  • \( \underbrace{ 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 }_{ \color{red}{5} \ \text{veces} } \) lo escribimos como \( 2^{ \color{red}{5} } \).
  • \( \underbrace{5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 }_{ \color{red}{7} \ \text{veces} } \) lo escribimos como \( 5^{ \color{red}{7} } \).
  • \( \underbrace{10 \times 10 \times 10 … 10 \times 10 \times 10}_{ \color{red}{20} \ \text{veces} } \)聽lo escribimos como \( 10^{ \color{red}{20} } \).
  • \( \underbrace{6}_{ \color{red}{1} \ \text{vez} } \) lo escribimos como \( 6^{ \color{red}{1} } \), como tambi茅n \( a=a^1 \)聽贸聽 \( x=x^1 \).

En este ultimo ejemplo donde encontramos que聽\( a=a^1 \)聽贸聽 \( x=x^1 \), significa que para la definici贸n de potenciaci贸n, el m铆nimo valor del exponente es聽\( 1 \), ya que el exponente nos indica cuantas veces debemos contar la base para multiplicarse as铆 misma.

Sin embargo, mas adelante podemos extender estos resultados para exponentes negativos o de manera general, para exponentes enteros.

Ejemplos aplicativo de la potenciaci贸n

  • Calcular el valor de \( 2^6 \).
    Por definici贸n, tenemos:
    \( 2^{ \color{red}{6} } = \underbrace{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}_{ \color{red}{6} \ \text{veces} } = 64 \). Decimos entonces que la potencia de \( 2^{ \color{red}{6} } \)聽es igual \( 64 \).
  • \( 5^{ \color{red}{4} } = \underbrace{5 \times 5 \times 5 \times 5}_{ \color{red}{4} \ \text{veces} } =625 \).
  • \( 3^{ \color{red}{5} } = \underbrace{ 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 }_{ \color{red}{5} \ \text{veces} } = 243 \)
  • \( a^{ \color{red}{2} } = \underbrace{a \times a}_{ \color{red}{2} \ \text{veces} } \)
  • \( a^{ \color{red}{1} } = \underbrace{a}_{ \color{red}{1} \ \text{vez} } \)
  • \( (-2)^{ \color{red}{4} } =(-2)(-2)(-2)(-2) = 16 \)
  • \( -2^{ \color{red}{4} } = -2 \times 2 \times 2 \times 2 = -16 \)
    Tenga en cuenta que expresi贸n聽\( -2^{ \color{red}{4} } \)聽solo afecta al numero聽\( 2 \)聽sin afectar al s铆mbolo menos “\( – \)”. Ahora veamos el lado inverso con los siguientes ejemplos:
  • \( \underbrace{ a \times a \times a … a }_{ \color{red}{10} \ \text{veces} } = a^{ \color{red}{10} } \)
  • \( \underbrace{ \sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} … \sqrt{2} }_{ \color{red}{30} \ \text{veces} } = \sqrt{2}^{ \color{red}{30} } \)
  • \( \underbrace{ a^x \cdot a^x \cdot a^x … a^x }_{ \color{red}{15} \ \text{veces} } = (a^x)^{15} \)
  • \( \underbrace{ (-2)(-2)(-2)…(-2) }_{ \color{red}{1000} \ \text{veces} } = (-2)^{ \color{red}{1000} } \)

Denominaci贸n de exponentes especiales

Algunas potencias con exponente \( 2 \), \( 3 \), \( 4 \) y \( 5 \) se les llama cuadrado, cubo, cuarta y quinta potencia. De esta manera, la potencia \( 4^2 \) se dice “\( 4 \) elevado al cuadrado” o simplemente “\( 4 \) al cuadrado”, o este otro ejemplo \( 7^3 \) se dice “\( 7 \) elevado al cubo” o simplemente “\( 4 \) al cubo”.

Exponente de exponente, peque帽a aclaraci贸n

Llamamos exponente de exponente a las siguientes expresiones:

  • \( 4^{ 3^{7} } \) donde su base es \( 4 \) y el exponente es \( 3^{7} \).
  • \( 2^{ 3^{ 9^{ 5 } } } \) donde su base es \( 2 \) y el exponente es \( 3^{ 9^{ 5 } } \)
  • \( 5^{6^{3}} \) donde su base es \( 5 \) el exponente es \( 6^{3} \)
Veamos algunos ejemplos mas para clarar estos puntos.

Ejemplos

  • La potenciaci贸n \( \color{blue}{2}^{ \color{green}{9} } \) se puede escribir como \( \color{blue}{2}^{ \color{green}{ 3^2 } } \).
    La base de \( \color{blue}{2}^{ \color{green}{ 3^2 } } \) es \( \color{blue}{2} \) y su exponente es \( \color{blue}{ 3^2 } \)
  • De la igualdad \( \color{red}{2}^{ 16 } = \color{red}{2}^{ 2^4 } = \color{red}{2}^{ 2^{ 2^2 } } \). Aqu铆 decimos que la base de \( \color{red}{2}^{ 2^{ 2^2 } } \) es \( \color{red}{2} \) y su exponente es \( 2^{ 2^2 } = 16 \).
  • La potencia \( \color{blue}{a}^{ \color{green}{ x^x } } \) tiene como base \( \color{blue}{a} \) y exponente \( \color{green}{ x^x } \).

Exponente sucesivo

En base a lo anterior, podemos afirmar sin demostrar que para 6 variables diferentes \( x \), \( y \), \( z \), \( w \), \( m \) y \( n \) se cumple que:

\[ x^{ y^{ z^{ w } } } = x^{ y^{m} } = x^{ n } \]

Donde \( z^{w} = m \) y \( y^{m} = n \)

Las 5 principales Reglas de la potenciaci贸n

Estas leyes son un conjunto de 5 principales reglas de la teor铆a de exponentes. Las propiedades de la potenciaci贸n son muy sencillas de demostrar. Veamos cada una de ellas junto con sus respectivas demostraciones y ejemplos diversos.

Teorema 1: Multiplicaci贸n de potencia de bases iguales

El producto de dos potencias con la misma base, resulta ser igual a otra potencia de la misma base con los respectivos exponentes sumados. Simb贸licamente:

\[ a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{n+m} } \]

No olvidar que \( m \) y \( n \) indican cuantas veces se debe de multiplicar la base \( a \)聽, la base puede tomar cualquier valor que te imagines.

Este teorema es una de las primeras propiedades m谩s b谩sicas de la teor铆a de exponentes y es, junto con el resto de las siguientes propiedades, la que usaremos en todas las 谩reas relacionadas con las matem谩ticas, la propiedad se centra en el producto de dos factores de bases iguales y exponentes distintos, su demostraci贸n informal es la siguiente:

Demostraci贸n

  1. Por el concepto de potencia:
    \[ a^{ \color{red}{n} } = \underbrace{ \overbrace{ a \cdot a \cdot a … a }^{ \text{ Contando } } }_{ \color{red}{n} \ \text{veces} } \ \text{y} \ a^{ \color{red}{m} } = \underbrace{ \overbrace{ a \cdot a \cdot a … a }^{ \text{ Contando } } }_{ \color{red}{m} \ \text{veces} } \]
  2. Multiplicando:
    \[ a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } =聽\underbrace{ \overbrace{ a \cdot a \cdot a … a }^{ \text{ Contando } } }_{ \color{red}{n} \ \text{veces} } \cdot聽\underbrace{ \overbrace{ a \cdot a \cdot a … a }^{ \text{ Contando } } }_{ \color{red}{m} \ \text{veces} } \]
  3. Agrupando:
    \[ a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } =聽\underbrace{ \overbrace{ a \cdot a \cdot a … a }^{ \text{ Contando } } }_{ \color{red}{n+m} \ \text{veces} } \]
  4. Por el concepto de potencia:
    \[ a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{n+m} } \]

驴Sencillo no? todas las leyes que veremos m谩s adelante se prueba usando el concepto de potencia, pero antes de comenzar con el resto de las propiedades, vayamos a ver algunas aplicaciones de nuestra primera ley.

Ejemplos

  1. Multiplicar \( a^{2} \) y \( a^{3} \) usando la definicion de potenciaci贸n.
    Soluci贸n:
    Por el concepto de potencia:
    \[ a^{ \color{red}{2} } = \underbrace{ \overbrace{ a \cdot a聽 }^{ \text{ Contando } } }_{ \color{red}{2} \ \text{veces} } \ \text{y} \聽 a^{ \color{red}{3} } = \underbrace{ \overbrace{ a \cdot a \cdot a }^{ \text{ Contando } } }_{ \color{red}{3} \ \text{veces} } \]
    Multiplicando:
    \[ a^{ \color{red}{2} } = \underbrace{ \overbrace{ a \cdot a聽 }^{ \text{ Contando } } }_{ \color{red}{2} \ \text{veces} } \ \text{y} \聽 聽a^{ \color{red}{3} } = \underbrace{ \overbrace{ a \cdot a \cdot a }^{ \text{ Contando } } }_{ \color{red}{3} \ \text{veces} } \]
    Agrupando:
    \[ a^{ \color{red}{2} } \cdot a^{ \color{red}{3} } =聽\underbrace{ \overbrace{ a \cdot a \cdot a聽\cdot聽a聽\cdot a }^{ \text{ Contando } } }_{ \color{red}{2+3} \ \text{veces} } \]
    Por el concepto de potencia:
    \[ a^{ \color{red}{2} } \cdot a^{ \color{red}{3} } = a^{ \color{red}{2+3} } \]
  2. \( 2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 \)
  3. \( 2^{a} \cdot 2^{b} = 2^{a+b} \)
  4. \( 2^{2} \cdot 2^{4} \cdot 2^{6} = 2^{2+4+6} = 2^{12} \)
  5. \( 5^{1} \cdot 5^{2} \cdot 5^{3} \cdot 5^{4} = 5^{1+2+3+4} = 5^{10} \)
  6. \( a^{1} \cdot a^{3} \cdot a^{6} = a^{1+3+6} =a^{10} \)
  7. Probar \( 2^{3} \cdot 2^{2} = 2^{3+2} \).
    Soluci贸n: \( \color{blue}{2^3} \cdot \color{red}{2^2} = \underbrace{ \color{blue}{2 \cdot 2 \cdot 2} }_{3 \ \text{veces}} \cdot \underbrace{ \color{red}{ 2 \cdot 2 } }_{ 2 \ \text{veces} } = \underbrace{ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 }_{5 \ \text{veces}} = 2^{5} \)
  8. \( 4^{a} \cdot 4^{b} = 4^{a+b} \)
  9. \( 3^{n} \cdot 3^{m} = 3^{n+m} \)
  10. \( 7^{n+m} = 7^{n} \cdot 7^{m} \)
  11. \( 10^{a+b+c} = 10^{a} \cdot 10^{b} \cdot 10^{c} \)

Los ejemplos X y XI es el teorema 1 aplicado al rev茅s, si el teorema dice que \( a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{n+m} } \), tambien se cumple que \( a^{ \color{red}{n+m} } = a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } \). Veamos el resto de las leyes restantes.

Teorema 2: Potencia de un producto

La potencia de un producto resulta ser igual al producto de las potencias de los factores de un mismo exponente, simb贸licamente:

\[ (ab)^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{n} } \cdot b^{ \color{red}{n} } \]

Aqu铆 el exponente \( n \) afecta por separado a los valores \( a \)聽y \( b \).

Como hemos visto, el producto se realiza con bases diferentes pero con el mismo exponente. Veamos como se demuestra esta ley.

Demostraci贸n

  1. Por el concepto de potencia:
    \[ (ab)^{ \color{red}{n} } = \underbrace{ (ab)(ab)(ab)…(ab) }_{ \color{red}{n} \ \text{veces} } \]
  2. Ordenando t茅rminos segun la propiedad asociativa:
    \[ (ab)^{ \color{red}{n} } = \underbrace{ a \cdot a \cdot a … a }_{ \color{red}{n} \ \text{veces} } \cdot聽\underbrace{ b \cdot b \cdot b … b }_{ \color{red}{n} \ \text{veces} } \]
  3. De nuevo por el concepto de potencia:
    \[ (ab)^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{n} } \cdot b^{ \color{red}{n} } \]

Como acabamos de ver, la prueba de la potencia de un producto es muy sencilla. No olvidar que la ley de potencia de un producto se puede escribir al rev茅s as铆 \( a^{ \color{red}{n} } \cdot b^{ \color{red}{n} } = (ab)^{ \color{red}{n} } \).

Ejemplos

  • \( (ab)^{3} = a^{3} \cdot b^{3} \)
  • \( (mnp)^{5} = m^{5} \cdot n^{5} \cdot p^{5} \)
  • \( (2xy)^{7} = 2^{7} \cdot x^{7} \cdot y^{7} \)
  • \( (2 \cdot 7 \cdot 9)^{4} = 2^{4} \cdot 7^{4} \cdot 9^{4} \)
  • Probar: \( (ab)^{3} = a^{3} \cdot b^{3} \). Soluci贸n:
    \( \begin{split} (ab)^{3} & = \underbrace{ (ab)(ab)(ab) }_{ 3 \ \text{veces} } \\ & = \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{ 3 \ \text{veces} } \cdot \underbrace{ b \cdot b \cdot b }_{ 3 \ \text{veces} } \\ & = a^{3} \cdot b^{3} \end{split} \)

驴Que te pareci贸? 驴sencillo no? si has le铆do detenidamente desde el inicio de esta secci贸n hasta ahora, te ser谩 muy f谩cil entender estas propiedades, vayamos a la siguiente ley de teor铆a de exponentes.

Teorema 3: Potencia de potencia

Sea la potencia \( a^{ \color{red}{n} } \), si la elevamos a al exponente \( \color{red}{m} \), resulta:

\[ ( a^{ \color{red}{n} } )^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{nm} } \]

C贸mo ven, los exponentes \( m \)聽y \( n \)聽se multiplican al quitar los signos de agrupaci贸n.

Demostraci贸n

  1. Por el concepto de potencia:
    \[ ( a^{n} )^{m} = \underbrace{ a^{n} \cdot a^{n} \cdot a^{n} … a^{n} }_{ m \ \text{ veces } } \]
  2. Por la propiedad聽\(聽a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{n+m} }\):
    \[ ( a^{n} )^{m} = a^{ \overbrace{ n+n+n+…+n }^{ m \ \text{veces} } } \]
  3. Como \( \underbrace{ n+n+n+…+n }_{ m \ \text{veces} } = nm \), finalmente:
    \[ (a^{n})^{m} = a^{nm} \]

Ejemplos

  • Probar \( ( 5^{2} )^{3} = 5^{2 \cdot 3} \). Soluci贸n:
    \( \begin{split} ( 5^{2} )^{3} & = \underbrace{ 5^{2} \cdot 5^{2} \cdot 5^{2} }_{ 3 \ \text{veces} } \\ & = 5^{ \overbrace{ 2+2+2 }^{ 3 \ \text{veces} } } \\ & = 5^{ 2 \cdot 3 } \end{split} \)
  • \( ( a^{3} )^{2} = a^{ 3 \cot 2 } = a^{6} \)
  • \( [ ( a^{2} )^{3} ]^{5} = a^{ 2 \cdot 3 \cdot 5 } = a^{ 30 } \)
  • Probar que \( ( a^{2} b^{5} )^{3} = a^{ 2 \cdot 3 } \cdot b^{ 5 \cdot 3 } \). Soluci贸n:
    Por la ley \( (ab)^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{n} } \cdot b^{ \color{red}{n} } \), tenemos:
    \( \begin{split} ( a^{2} \cdot b^{5} )^{ \color{red}{3} } & = ( a^{2} )^{ \color{red}{3} } ( b^{5} )^{ \color{red}{3} } \\ & = a^{ 2 \cdot \color{red}{3} } b^{ 5 \cdot \color{red}{3} }聽 \end{split} \)

El concepto de potenciaci贸n que establecimos al inicio de esta secci贸n sirve 煤nicamente para n煤meros naturales que indica cuantas veces debe de multiplicarse la base, pero para definir el concepto de potenciaci贸n de n煤meros enteros, debemos definir otros dos tipos de potencias, esto son, el exponente cero y el exponente negativo. y esto es lo que discutiremos en los siguientes apartados.

Potencia con Exponente cero ( \( a^{0} \) )

El valor m铆nimo de un exponente para \( a^{ \color{red}{n} } \)聽es cuando \( n=1 \). Si queremos saber el valor de \( a^{0} \), esto es, el exponente cero para cualquier valor de \( a \), realizaremos la siguiente operaci贸n matem谩tica.

  • Tenemos: \( a^{n} = a^{n} \)
  • Lo escribimos as铆: \( a^{n} = a^{n+0} \)
  • Aplicando \( a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{n+m} } \), tenemos: \( a^{n} = a^{n} \cdot a^{0} \).
  • Pero como: \( a^{n} = a^{n} \cdot 1 \), resulta: \( a^{n} \cdot 1 = a^{n} \cdot a^{0} \)
  • Cancelando \( a^{n} \), finalmente obtenemos: \( a^{0} = 1 \)
Este nuevo concepto nos ayuda a extender la teoria de exponentes para potencias con exponente cero, por ello, lo anunciamos como una nueva definici贸n.

Definici贸n de exponente cero

Toda base elevado al exponente \( 0 \), nos da como resultado \( 1 \), matem谩ticamente se expresa as铆:

\[ a^{0} = 1 \]

Donde \( a \neq 0 \).

En la definici贸n anterior Indicamos que \( a \neq 0 \)聽porque no existe, no est谩 definido el valor de \( 0^{0} \), de hecho, antes se aceptaba sin demostraci贸n que \( 0^0 = 1 \), actualmente se ha demostrado que esto no es del todo cierto, ya que dependiendo de tipo de aproximaci贸n de una funci贸n del tipo \( { f(x) }^{ ( g(x) ) } \) tal que si \( x \) se aproxime a un valor num茅rico especifico donde \( f(x) \) y \( g(x) \) se anulen, la expresi贸n \( 0^0 \) puede tener distintos valores, incluso inexistentes, en otras palabras, la expresi贸n \( 0^0 \) es indeterminado.

Ejemplos del exponente cero

  • \( 2^{0} = 1 \)
  • \( 5^{0} = 1 \)
  • \( (-8)^{0} = 1 \)
  • \( -7^0 = -1 \), el exponente cero no afecta al signo menos “\( – \)”.
  • \( ( 2^{6} + 3^{4} )^{0} = 1 \)

Potencia con Exponente negativo ( \( a^{-n} \) )

Supongamos que queremos dividir \( a^{6} \)聽con \( a^{3} \), tenemos:

\[ \require{cancel} \frac{ a^{ \color{red}{6} } }{ a^{ \color{red}{3} } } = \frac{ \overbrace{ a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a }^{ \color{red}{6} \ \text{veces} } }{ \underbrace{ a \cdot a \cdot a }_{ \color{red}{3} \ \text{veces} } } =聽\frac{ \overbrace{ a \cdot a \cdot a \cdot \cancel{ a \cdot a \cdot a } }^{ \color{red}{6} \ \text{veces} } }{ \underbrace{ \cancel{ a \cdot a \cdot a } }_{ \color{red}{3} \ \text{veces} } } \]

Usando el concepto de potenciaci贸n vemos que podemos eliminar t茅rminos, en este caso el numerador y denominador tienen en com煤n el producto \( a \cdot a \cdot a \), nos quedar铆a:

\[ \frac{ a^{6} }{ a^{3} } = \overbrace{ a \cdot a \cdot a }^{ \color{red}{ 6-3 } \ \text{veces} } \]

Por tanto:

\[ \frac{ a^{ \color{red}{6} } }{ a^{ \color{red}{3} } } = a^{ \color{red}{ 6-3 } } = a^{ \color{red}{3} } \]

Por lo visto, este resultado no es nada del otro mundo, pero es la primera vez que existe una resta en nuestro exponente. Pero si cambiamos las posiciones de los t茅rminos de nuestra divisi贸n de \( a^{6} \)聽y \( a^{3} \) quedar铆a as铆:

\[ \frac{ a^{ \color{red}{3} } }{ a^{ \color{red}{6} } } = \frac{ \overbrace{ \cancel{ a \cdot a \cdot a } }^{ \color{red}{3} \ \text{veces} } }{ \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdot \cancel{ a \cdot a \cdot a } }_{ \color{red}{6} \ \text{veces} } } \]

Vemos que podemos quitarle al denominador los t茅rminos \( a \cdot a \cdot a \)聽de lo que hay en el numerador resultando:

\[ \frac{ a^{ \color{red}{3} } }{ a^{ \color{red}{6} } } = \frac{1}{ \underbrace{ a \cdot a \cdot a }_{ \color{red}{ 6-3 } \ \text{veces} } } \]

Quedando:

\[ \frac{ a^{ \color{red}{3} } }{ a^{ \color{red}{6} } } = \frac{1}{ a^{3} } \]

Por lo visto, este resultado no lo podemos expresar en forma de potencia, recordar que el exponente \( n \)聽de la potencia \( a^{n} \)聽indica cu谩ntas veces debe de multiplicarse la base, entonces \( \frac{1}{ a^{n} } \)聽no nos dice ni se puede colocar como una potencia que nos indique cuantas veces debe multiplicarse la base \( a \). Por ello, necesitamos un nuevo concepto del exponente negativo, para averiguarlo, tomaremos el concepto del exponente cero de la siguiente manera:

  • Tenemos: \( a^{0} = a^{0} \)
  • Como \( n-n=0 \)聽y por la definici贸n del exponente cero, tenemos: \( a^{n-n} = a^{0} \)
  • Por definici贸n de exponente negativo \( a^{0} = 1 \): \( a^{n-n} = 1 \)
  • Aplicando \( a^{ \color{red}{n} }聽\cdot a^{ \color{red}{m} }聽= a^{ \color{red}{n+n} } \):聽 \( a^{n} \cdot a^{ -n } = 1 \)
  • Logrado: \( a^{ -n } = \frac{1}{ a^{n} } \)

El exponente \( a^{-n} \)聽no puede expresarse por el concepto de potenciaci贸n, esto es, no se puede hacer \( \underbrace{ a \cdot a \cdot a … a }_{-n} \) para cualquier valor de \( n \), a menos que \( n \) sea negativo, con esta peque帽a restricci贸n, vamos a definir el exponente negativo.

Definici贸n de exponente negativo

Toda base \( a \) elevado a un exponente negativo \( -n \) donde \( n \) es un numero natural es igual a la inversa de \( a^{n} \), en otras palabras:

\[ a^{-n} = \frac{1}{ a^{n} } \]

Tal que \( a \neq 0 \).

Ejemplos de exponente negativo

  • \( 2^{-5} = \frac{1}{ 2^{-5} } \)
  • \( 3^{-7} = \frac{1}{ 3^{7} } \)
  • \( (-4)^{-2} = \frac{1}{ (-4)^{2} } \)
  • \( (-2)^{-3} = \frac{ 1 }{ (-2)^{3} } \)
  • \( \frac{1}{ 4^{2} } = 4^{ -2 } \)
  • \( \frac{1}{4} = \frac{1}{ 4^{1} } = 4^{-1} \)

Ahora gracias a los conceptos del exponente cero y el exponente negativo podemos anunciar las siguientes 2 leyes cl谩sicas restantes de la teor铆a exponentes para exponente entero..

Teorema 4: Divisi贸n de potencias de bases iguales

El cociente de dos potencias con la misma base resulta ser una potencia de dicha base elevado a las diferencias de los exponentes de la potencia del dividendo y divisor. Simb贸licamente:

\[ \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{ n-m } \]

Donde \( a \neq 0 \)

De esta manera, podemos aplicar este teorema a un resultado anterior pendiente sin resolver y que nos dice:

\[ \frac{ a^{ \color{red}{3} } }{ a^{ \color{red}{6} } } = \frac{1}{ a^{3} } \]

Por la ley de divisi贸n de potencias de bases iguales finalmente lo podemos expresar as铆:

\[ \frac{ a^{ \color{red}{3} } }{ a^{ \color{red}{6} } } = a^{ \color{red}{ 3-6 } } = a^{ \color{red}{ -3 } } \]

Demostraci贸n

La demostraci贸n que les mostrar茅 no es del todo correcta, esto ser谩 explicado en un curso de n煤meros reales, en fin, la prueba es la siguiente:

  1. Tenemos:
    \[ \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{m} } } =聽\frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{m} } }聽\]
  2. Usando \( \frac{a}{ \color{red}{b} } = a \cdot \color{red}{ \frac{1}{b} } \), tenemos:
    \[ \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{m} } } = a^{ \color{red}{n} } \cdot \frac{1}{ a^{ \color{red}{m} } } \]
  3. Aplicando el exponente negativo \( \frac{1}{ a^{ \color{red}{m} } } = a^{ \color{red}{ -m } } \):
    \[ \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{m} } } = a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{-m} } \]
  4. Donde \( a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{-m} } = a^{ \color{red}{n-m} } \),聽 finalmente logramos:
    \[ \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{m} } } = a^{ \color{red}{n-m} } \]

Quedando demostrado la cuarta ley de la teor铆a de exponentes.聽Veamos algunas aplicaciones sencillas del de esta propiedad:

Ejemplos:

  • \( \frac{ 5^{7} }{ 5^{5} } = 5^{ 7-5 } = 5^{2} \)
  • \( \frac{ 3^{5} }{ 3^{3} } = 3^{ 5-3 } = 3^{2} \)
  • \( \frac{ 7^{-2} }{ 7^{3} } = 7^{ -2-3 } = 7^{-6} \)
  • \( \frac{ x^{200} }{ x^{100} } = x^{200-100} = x^{100} \)
  • Probar que: \( \frac{ 2^{7} }{ 2^{5} } = 2^{2} \)
    Soluci贸n:聽
    Por el concepto de potencia:聽
    \[ \require{cancel} \frac{ 2^{7} }{ 2^{5} } = \frac{ \overbrace{ 2 \cdot 2 \cdot \cancel{ \color{blue}{ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 } } }^{ 7 \ \text{veces} } }{ \underbrace{ \cancel { \color{blue}{ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 } } }_{ 5 \ \text{veces} } } \]
    Simplificando:
    \[ \frac{ 2^{7} }{ 2^{5} } = 2 \cdot 2 = 2^{2} \]
    Usando la ley, el resultado es el mismo:
    \[ \frac{ 2^{7} }{ 2^{5} } = 2^{ 7-2 } = 2^{2} \].

Teorema 5: Potencia de un cociente

La potencia de un cociente es igual a la divisi贸n de potencias con el mismo exponente. Simb贸licamente:

\[ ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } = \frac{ a^{聽\color{red}{n}聽} }{ b^{聽\color{red}{n}聽} } \]

Donde \( b \neq 0 \).

Demostraci贸n

  1. Tenemos:
    \[ ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } =聽( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} }聽\]
  2. Sabiendo que \( \frac{a}{b} = ab^{-2} \):
    \[ ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } = ( ab^{-1} )^{ \color{red}{n} } \]
  3. Como \( ( ab^{-1} )^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{n} } ( b^{-1} )^{ \color{red}{n} } \):
    \[ ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{n} } ( b^{-1} )^{ \color{red}{n} } \]
  4. Donde \( ( b^{-1} )^{ \color{red}{n} } = b^{ \color{red}{ -n } } \):
    \[ ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{n} } b^{ \color{red}{ -n } } \]
  5. Como \( b^{ \color{red}{ -n } } = \frac{1}{ b^{ \color{red}{n} } } \), tenemos:
    \[ ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{n} } \cdot \frac{1}{ b^{ \color{red}{n} } } \]
  6. Donde \( a^{n} \cdot \frac{1}{ b^{ \color{red}{n} } } = \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ b^{ \color{red}{n} } } \), finalmente logramos:
    \[ ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } = \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ b^{ \color{red}{n} } } \]

De esta manera, queda demostrada la ley de聽potencia de un cociente, ahora aqu铆 viene algunas aplicaciones de esta ley.

Ejemplos:

  • \( ( \frac{m}{n} )^{3} = \frac{ m^{3} }{ n^{3} } \)
  • \( ( \frac{p}{q} )^{7} = \frac{ p^{3} }{ q^{3} } \)
  • \( ( \frac{2}{3} )^{12} = \frac{ 2^{12} }{ 3^{12} } \)
  • Probar que: \( ( \frac{m}{n} )^{3} = \frac{ m^{3} }{ n^{3} } \)
    Soluci贸n:聽Por el concepto de potencia:聽
    \( \begin{split} ( \frac{m}{n} )^{3} & = \underbrace{ ( \frac{m}{n} )聽( \frac{m}{n} )聽( \frac{m}{n} )聽}_{ 3 \ \text{veces} } \\ & =聽\frac{ m \cdot m \cdot m }{ n \cdot n \cdot n } \\ & =聽\frac{ m^{3} }{ n^{3} }聽\end{split} \)
  • \( ( \frac{ a^{2} }{ b^{3} } )^{5} = \frac{ a^{ 2 \cdot 5 } }{ b^{ 3 \cdot 5 } } = \frac{ a^{10} }{ b^{15} } \)
  • \( ( \frac{ 2^{3} }{ 3^{4} } )^{5} = \frac{ a^{ 3 \cdot 5 } }{ b^{ 4 \cdot 5 } } = \frac{ a^{15} }{ b^{20} } \)

Veremos una propiedad que es consecuencia de la ley de potencia de un cociente, veamos que nos dice esta propiedad.

Corolario: Potencia negativa de un cociente

Esta propiedad nos dice que:

\[ ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{-n} } = ( \frac{b}{a} )^{ \color{red}{n} } \]

Donde: \( b \neq 0 \), esta propiedad es solo una consecuencia de la ley de potencia de un cociente.

Ejemplos:

  • \( ( \frac{x}{y} )^{-2} = ( \frac{y}{x} )^{2} \)
  • \( ( \frac{m}{n} )^{-5} = ( \frac{n}{m} )^{5} \)
  • \( ( \frac{7}{9} )^{-2} = ( \frac{9}{7} )^{2} \)
  • \( ( \frac{1}{n} )^{-5} = ( \frac{n}{1} )^{5} = n^{5} \)
  • \( ( \frac{1}{2} )^{-3} = ( \frac{2}{1} )^{3} = 2^{3} \)
  • \( ( \frac{1}{2} )^{-3} = ( \frac{2}{1} )^{3} = 2^{3} \)

Otros conceptos mas sobre la potenciaci贸n

Aqu铆 te presento algunos conceptos auxiliares para desarrollar algunos ejercicios previos y tengas una idea del uso adecuado de las leyes de los exponentes.

Tabla de potencias

Aqu铆 te dejo una tabla de potencias de los 12 primeros n煤meros naturales elevados del 1 al 12.

12=1
13=1
14=1
15=1
16=1
17=1
18=1
19=1
110=1
111=1
112=1

21=2
22=4
23=8
24=16
25=32
26=64
27=128
28=256
29=512
210=1024
211=2048
212=4096
31=3
32=9
33=27
34=81
35=243
36=729
37=2187
38=6165
39=19683
310=59049
311=177147
312=531441
41=4
42=16
43=64
44=256
45=1024
46=4096
47=16387
48=65536
49=262144
410=1048576
411=4192304
412=16777216
51=5
52=25
53=125
54=625
15=3125
56=15625
57=78125
58=390625
59=1953125
510=9765625
511=48828125
512=244140625
61=6
62=36
63=216
64=1292
65=7776
66=46656
67=279936
68=1679616
69=10077696
610=60466176
611=362797056
612=2176782336
聽71=7
72=49
73=343
74=2401
75=16807
76=117649
77=823543
78=5764801
79=40353607
710=282475249
711=1977326743
712=13841287201
81聽=聽8
82聽=聽64
83聽=聽512
84聽=聽4096
85聽=聽32768
86聽=聽262144
87聽=聽2097152
88聽=聽16777216
89聽=聽134217728
810聽=聽1073741824
811聽=聽8589934592
812聽=聽68719476736
91聽=聽9
92聽=聽81
93聽=聽729
94聽=聽6561
95聽=聽59049
96聽=聽531441
97聽=聽4782969
98聽=聽43046721
99聽=聽387420489
910聽=聽3486784401
911聽=聽31381059609
912聽=聽282429536481
聽101聽=聽10
102聽=聽100
103聽=聽1000
104聽=聽10000
105聽=聽100000
106聽=聽1000000
107聽=聽10000000
108聽=聽100000000
109聽=聽1000000000
1010聽=聽10000000000
1011聽=聽100000000000
1012聽=聽1000000000000
111聽=聽11
112聽=聽121
113聽=聽1331
114聽=聽14641
115聽=聽161051
116聽=聽1771561
117聽=聽19487171
118聽=聽214358881
119聽=聽2357947691
1110聽=聽25937424601
1111聽=聽285311670611
1112聽=聽3138428376721
121聽=聽12
122聽=聽144
123聽=聽1728
124聽=聽20736
125聽=聽248832
126聽=聽2985984
127聽=聽35831808
128聽=聽429981696
129聽=聽5159780352
1210聽=聽61917364224
1211聽=聽743008370688
1212聽=聽8916100448256

Potencia de un n煤mero

La potencia de un n煤mero sirve para indicar sobre que base se esta trabajando para c谩lculos num茅ricos muy grandes o para n煤meros ultra peque帽os, por ejemplo, en qu铆mica, la definici贸n de una unidad molar es \( 1 \ \text{mol} = 6,022045 \times 10^{23} \ \text{part铆culas} \), el n煤mero grande recibe el nombre de constante de avogadro con el valor de 鈥淺( 6,022045 \times 10^{23} \); en f铆sica cu谩ntica, la constante de Planck es \( h聽= 6,63 \times 10^{-34} \ \text{J} \cdot \text{s} \); la constante de gravitaci贸n universal es \( 6,674 \times 10^{-11} \ \frac{ \text{Nm}^{2} }{ \text{kg}^{2} }聽 \). Si se fijan bien, cada una de estas expresiones est谩n expresadas en potencias de base 10.

Un ejemplo de la potencia de un n煤mero de base 5 es la tabla del apartado anterior con exponentes del 1 al 12.

Leyes de los signos para la multiplicaci贸n

La multiplicaci贸n entre signos iguales resulta ser positivo, y signos contrarios resulta ser negativo.

  • \( (+)(+) = (+) \)
  • \( (-)(-) = (+) \)
  • \( (+)(-) = (-) \)
  • \( (-)(+) = (-) \)

Leyes de los signos para la divisi贸n

La divisi贸n entre signos iguales resulta ser positivo, y signos contrarios resulta ser negativo.

  • \( \frac{(+)}{(+)} = (+) \)
  • \( \frac{(-)}{(-)} = (+) \)
  • \( \frac{(+)}{(-)} = (-) \)
  • \( \frac{(-)}{(+)} = (-) \)

Leyes de los signos para la potenciaci贸n

Aqu铆 no importa si el exponente es un numero entero o natural, sino cuando es par o impar. Cuando una base es elevado a un exponente par, siempre ser谩 positivo, pero si el exponente es impar, la potencia hereda el signo de la base.

  • \( (+)^{ \text{par} } = (+) \)
  • \( (-)^{ \text{ par } } = (+) \)
  • \( (+)^{ \text{impar} } = (+) \)
  • \( (-)^{ \text{impar} } = (-) \)

N煤meros pitag贸ricos

Los n煤meros pitag贸ricos son aquellos n煤meros que cumplen la relaci贸n matem谩tica \( a^{2} + b^{2} = c^{2} \) donde \( a \), \( b \) y \( c \) son n煤meros enteros. Esto igualdad viene de resolver la hipotenusa \( c \) de un triangulo rect谩ngulo de lados \( a \) y \( b \).

La siguiente tabla solo muestra algunos valores de estos n煤meros pitag贸ricos:

\( a \)\( b \)\( c \)
\( 3 \)\( 4 \)\( 5 \)
\( 5 \)\( 12 \)\( 13 \)
\( 7 \)\( 24 \)\( 25 \)
\( 21 \)\( 20 \)\( 29 \)
\( 9 \)\( 40 \)\( 41 \)

Se ha demostrado que no existe 3 n煤meros enteros simult谩neos que cumple la relaci贸n \( a^{n} + b^{n} = c^{n} \) para exponente entero \( n \) mayores de \( 2 \), esta propiedad se le conoce como el ultimo teorema de Fermat, estos 3 n煤meros enteros positivos pueden existir solo para exponentes \( n=1 \) y \( n=2 \).

Ejercicios resueltos

Aqu铆 te muestro tan solo 10 ejercicios o problemas resueltos de potenciaci贸n, espero que lo disfrutes.

Ejercicio 1:聽Simplifique la siguiente expresi贸n:

\[ \mathrm{B} = \frac{ ( 49^{-1} x^{7} y^{ 4 } z^{ -5 } )^{5} ( x^{ 2 } y^{ 3 } )^{-4} }{ ( 7 x^{ -3 } y^{-1} z^{4} )^{ -9 } } \]

Soluci贸n:

  1. Por el teorema \( (ab)^{n} = a^{n} b^{n} \):
    \[ \mathrm{B} = \frac{ ( 49^{-1} )^{ 5 } ( x^{7} )^{5} ( y^{ 4 } )^{5} ( z^{ -5 } )^{5} ( x^{ 2 } )^{-4} ( y^{ 3 } )^{-4} }{ ( 7 )^{-9} ( x^{ -3 } )^{-9} ( y^{-1} )^{-9} z^{4} )^{ -9 } } \]
  2. Aplicando el teorema \( ( a^{n} )^{m} = a^{nm} \)
    \[ \begin{align} \mathrm{B} & = \frac{ 49^{ (-1)5 } x^{ 7 \cdot 5 } y^{ 4 \cdot 5 } z^{ (-5 ) 5 } x^{ 2 ( -4 ) } y^{ 3 ( -4 ) }聽 }{ 7^{ -9 } x^{ (-3)(-9) } y^{ (-1)(-9) } z^{ 4( -9 ) } } \\ & = \frac{ 49^{-5} x^{35} y^{20} z^{-25} x^{ -8 } y^{-12} }{ 7^{-9} x^{27} y^{9} z^{ -36 } } \end{align} \]
  3. Ordenando y aplicando la propiedad \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{B} & = \frac{聽49^{-5} x^{35}聽x^{ -8 }聽y^{20}聽y^{-12}聽z^{-25}聽}{聽7^{-9} x^{27} y^{9} z^{ -36 }聽} \\ & = \frac{ 49^{-5} x^{ 35+(-8) } y^{ 20+(-12) } z^{-25} }{ 7^{-9} x^{27} y^{9} z^{-36} } \\ & = \frac{ 49^{-5} x^{27} y^{8} z^{-25} }{ 7^{-9} x^{27} y^{9} z^{-36} } \end{align} \]
  4. Usando la propiedad \( \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{n-m} \) y no olvidar que \( 49^{-5} = 7^{ 2(-5) } = 7^{-10} \) logramos el siguiente resultado final:
    \[ \begin{align} \mathrm{B} & = \frac{ 7^{-10} }{ 7^{-9} } \cdot \frac{ x^{27} }{ x^{27} } \cdot \frac{ y^{8} }{ y^{9} } \cdot \frac{ z^{-25} }{ z^{ -36 } } \\ & = 7^{ -10 – (-9) } \cdot x^{ 27-27 } \cdot y^{ 8-9 } \cdot z^{ -25 -(-36) } \\ & = 7^{-1}x^{0} y^{-1} z^{11} \\ & =聽 \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \frac{ z^{11} }{7 y } }聽 \\ \hline \end{array}聽 \end{align} \]

Ejercicio 2:聽Simplifique la siguiente expresi贸n:

\[ \mathrm{A} = \frac{ x \cdot x^{2} \cdot x^{3} … x^{n} }{ x^{2} \cdot x^{4} \cdot x^{6} … x^{2n} } \]

Soluci贸n:

  1. Aplicando la propiedad \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \):
    \[ \mathrm{A} = \frac{ x^{ 1+2+3+…+n } }{ x^{ 2+4+6+…+2n } } \]
  2. Resolviendo la suma de la serie del exponente de la expresi贸n \( x^{1+2+3+…+4} \) usando la siguiente estrategia:
    \[ \scriptsize{ \begin{array}{} & S_{n} = & 1 & + & 2 & + & 3 & +…+ & n \\ \textbf{ + } & S_{n} = & n & + & (n-1) & + & (n-2) & +…+ & 1 \\ \hline & 2S_{n} = & (n+1) & + & (n+1) & + & (n+1) & +…+ & (n+1) \end{array} } \]
  3. Como hay \( n \) sumandos en la nueva suma \( 2S_{n} \), resulta:
    \[ \begin{align} 2S_{n} & = n(n+1) \\ \rightarrow S_{n} & = \frac{ n(n+1) }{2} … ( \alpha ) \end{align} \]
  4. Ahora resolveremos la suma de la serie del exponente de la expresi贸n \( x^{2+4+6+…+2n} \) definido como \( S_{2n} \), realizando la siguiente estrategia:
    \[ \begin{align} S_{2n} & = 2+4+6+…+2n \\ \frac{ S_{2n} }{2} & = \frac{ 2+4+6+…+2n }{2} \\ \frac{ S_{2n} }{2} & = 1+2+3+…+n \end{align} \]
  5. De \( \alpha \) resulta:
    \[ \begin{align} \frac{ S_{2n} }{2} & = \frac{ n(n+1) }{2} \\ S_{2n} & = n(n+1)聽 … ( \beta ) \end{align} \]
  6. Remplazando \( \alpha \) y \( \beta \) en \( \mathrm{A} \):
    \[ \mathrm{ A } = \frac{ x^{ \frac{ n(n+1) }{2} } }{ x^{ n(n+1) } } \]
  7. Por la propiedad \( \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{n-m} \), finalmente logramos:
    \[ \begin{align} \mathrm{A} & = x^{ \frac{ n(n+1) }{2} – n(n+1) } \\ & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ x^{ – \frac{ n(n+1) }{2} } } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 3: Reducir \( \mathrm{M} \):

\[ \mathrm{M} = \frac{ 3^{2x} + 3^{4x} + 3^{6x} }{ 3^{ -6x } + 3^{ -4x } + 3^{ -2x } } \]

Soluci贸n:

  1. Por definici贸n de exponente negativo \( a^{ -n } = \frac{1}{a^{n}} \):
    \[ \mathrm{M} = \frac{ 3^{2x} + 3^{4x} + 3^{6x} }{ \frac{1}{ 3^{6x} } + \frac{1}{ 3^{4x} } + \frac{1}{ 3^{2x} } } \]
  2. Multiplicando el numerador y denominador por \( 3^{ 6x } \):
    \[ \mathrm{M} = \frac{ 3^{ 6x } (3^{2x} + 3^{4x} + 3^{6x} ) }{聽 3^{6x} ( \frac{1}{ 3^{6x} } + \frac{1}{ 3^{4x} } + \frac{1}{ 3^{2x} ) } } \]
  3. Multiplicando:
    \[ \mathrm{M} = \frac{ 3^{ 6x } \cdot 3^{2x} + 3^{ 6x } \cdot聽 3^{4x} + 3^{ 6x } \cdot 3^{6x}聽 }{聽 \frac{ 3^{ 6x }聽}{ 3^{6x} } + \frac{ 3^{ 6x }聽}{ 3^{4x} } + \frac{ 3^{ 6x }聽}{ 3^{2x}聽 } } \]
  4. Por el teorema \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \)
    \[ \begin{align} \mathrm{ M } = & \frac{聽 3^{ 6x+2x } + 3^{ 6x + 4x } + 3^{ 6x + 6x } }{ 3^{ 6x-6x } + 3^{ 6x-4x } + 3^{ 6x-2x } } \\ & =聽\frac{ 3^{8x} + 3^{ 10x } + 3^{ 12x } }{ 3^{ 0 } + 3^{ 2x } + 3^{ 4x } } \end{align}聽\]
  5. Factorizando \( 3^{8x} \) en el numerador y teniendo en cuenta que \( a^{0} = 1 \), entonces:
    \[ \mathrm{ M } = \frac{ 3^{8x} ( 1 + 3^{ 2x } + 3^{ 4x } ) }{ 1 + 3^{2x} + 3^{ 4x } } \]
  6. Simplificando \( 1 + 3^{ 2x } + 3^{ 4x } \), finalmente logramos obtener:
    \[ \begin{array}{聽 | c | } \hline \Large{ \mathrm{M} = 3^{8x} } \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 4:聽Si la base de \( x^{ x^{ x^{ x } } } \) es \( x^{ x^{ x } } \), 驴cual es su exponente?:

Soluci贸n:聽

  1. Sea el exponente \( y \) de la expresi贸n \( x^{ x^{ x^{x} } } \) si la base es \( x^{ x^{ x } } \), entonces:
    \[ ( x^{ x^{ x } } )^{y} = x^{ x^{ x^{x} } } \]
  2. Por el teorema \( ( m^{n} )^{p} = m^{ np } \):
    \[ x^{ x^{x} y } = x^{ x^{ x^{ x } } } \]
  3. Por la propiedad del exponente sucesivo \( a^{ b^{c} } = a^{d} \), donde \( d = b^{c} \), se cumple:
    \[ x^{x} y = x^{ x^{x} }聽 \]
  4. Despejando \( y \):
    \[ y = \frac{ x^{ x^{x} } }{ x^{x} } \]
  5. Usando el teorema \( \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{ n-m } \), finalmente logramos:
    \[ \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ y = x^{ x^{x} – x } } \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 5:聽Determinar el valor de la siguiente expresi贸n:

\[ \mathrm{C} = \frac{\left(6^{5^{x-2}}\right)^{{15}^{2-x}}\cdot9^{3^{2-x}}}{3^{3^{3-x}}\cdot2^{3^{2-x}}} \]

Soluci贸n:

  1. Por la propiedad \( (a^n)^m = a^{nm} \) y teniendo en cuenta que \( 15 = 3 \cdot 5 \), \( 6 = 2 \cdot 3 \), \( 9 = 3^{2} \) y \( 4-2x = 2(2-x) \):
    \[ \mathrm{C} =聽\frac{ ( 3 \cdot 2 )^{5^{x-2}\cdot{ 3 \cdot 5 }^{2-x}}\cdot ( 3^2 )^{3^{2-x}}}{3^{3^{ 3-x}}\cdot2^{3^{2-x}}} \]
  2. Aplicando los teoremas \( (ab)^{x} = a^{x} b^{x} \) y \( (a^{n})^{m} \), tenemos:
    \[聽\mathrm{C} =聽\frac{\left(3\cdot2\right)^{5^{x-2}\cdot3^{2-x}\cdot5^{2-x}}\cdot3^{2\cdot3^{2-x}}}{3^{3^{ 3-x }}\cdot2^{3^{2-x}}} \]
  3. Multiplicando \( 5^{x-2} \) y \( 5^{2-x} \), tenemos:
    \[ \mathrm{C} = \frac{\left(3\cdot2\right)^{(5^{x-2}\cdot5^{2-x})\cdot3^{2-x}}\cdot3^{2\cdot3^{2-x}}}{3^{3^{ 3-x }}\cdot2^{3^{2-x}}} \]
  4. Por el teorema \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{C} & = \frac{\left(3\cdot2\right)^{5^{x-2+2-x}\cdot3^{2-x}}\cdot3^{2\cdot3^{2-x}}}{3^{3^{2\left(2-x\right)}}\cdot2^{3^{2-x}}} \\ & = \frac{\left(3\cdot2\right)^{ \overbrace{ 5^0 }^{ 1 } \cdot3^{2-x}}\cdot3^{2\cdot3^{2-x}}}{3^{3^{2\left(2-x\right)}}\cdot2^{3^{2-x}}} \\ & = \frac{\left(3\cdot2\right)^{3^{2-x}}\cdot3^{2\cdot3^{2-x}}}{3^{3^{3-x}}\cdot2^{3^{2-x}}}聽\end{align}聽\]
  5. Usando la propiedad \( (a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n} \):
    \[ \mathrm{C} = \frac{3^{3^{2-x}}\cdot2^{3^{2-x}}\cdot3^{2\cdot3^{2-x}}}{3^{3^{3-x}}\cdot2^{3^{2-x}}} \]
  6. Multiplicando las expresiones \( 3^{ 3^{2-x} } \) y \( 3^{ 2 \cdot 3^{ 2-x } } \), aplicando la propiedad \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \) y simplificando \( 2^{ 3^{ 2-x } } \):
    \[ \require{cancel} \begin{align} \mathrm{C} & = \frac{3^{3^{2-x}}\cdot3^{2\cdot3^{2-x}} \cancel{聽 \cdot2^{3^{2-x}} } }{3^{3^{3-x}} \cancel{ \cdot2^{3^{2-x}} } } \\ & = \frac{3^{3^{2-x}+2\cdot3^{2-x}}}{3^{3^{3-x}} } \\ & = \frac{3^{3\cdot3^{2-x}}}{3^{3^{3-x}}}聽\end{align}聽 聽\]
  7. Finalmente, aplicando el teorema \( a^{n} \cdot a^{ m } = a^{n+m} \), obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{C} & = \frac{3^{3^{1+2-x}}}{3^{3^{3-x}}} \\ & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{聽\frac{3^{3^{3-x}}}{3^{3^{3-x}}} =聽1 } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 6: Si \( 1 < a < 11 \), Calcular la siguiente multiplicaci贸n:

\[ \mathrm{H} = \underbrace{ a \cdot a \cdot a … a }_{ \frac{a}{2} + \frac{a}{3} \ \text{veces} } \]

Soluci贸n:

La expresi贸n de la forma \( a \cdot a \cdot a … a \) solo esta definido para exponente natural, esto significa que \( \frac{ a }{2} + \frac{ a }{3} \) es un numero natural ya que indica cuantas veces debe multiplicarse el factor \( a \).

Pero para que sea \( \frac{ a }{2} + \frac{ a }{3} \) natural, significa que \( a \) es m煤ltiplo de \( 2 \) y de \( 3 \), pero como \( a \) se encuentra entre \( 1 \) y \( 11 \), el unico valor aceptable es \( a = 6 \).

Entonces se cumple lo siguiente:

\[ \begin{align} \mathrm{H} & = \underbrace{ 6 \cdot 6 \cdot 6 … 6 }_{ \frac{6}{2} + \frac{6}{3} \ \text{veces} } \\ & = \underbrace{ 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 }_{ 5 \ \text{veces} } = \begin{array}{ | c | } \hline \large{ 46656 } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 7: Sea las siguientes condiciones \( a = x^{ \frac{1}{ 3-2x } } \) y \( b = \frac{x}{ 3-2x } \), averigue como esta relacionado las variables \( a \) y \( b \) eliminando la variable \( x \).

Soluci贸n:

  1. Elevando las expresiones \( a = x^{ \frac{1}{3-2x} } \) y \( b = \frac{x}{3-2x} \) al cubo y al cuadrado respectivamente, tenemos:
    \[ a^3 = ( x^{ \frac{1}{ 3-2x } } )^3 = a^3 \ \color{red}{ \text{ y } }聽 \ b^2 = ( \frac{ x }{ 3-2x } )^2 \]
  2. Por la propiedad \( ( x^{n} )^m = x^{nm} \):
    \[ a^3 = x^{ 3 \cdot \frac{1}{3-2x} } \ \color{red}{ \text{ y } }聽 \ ( b^2 = y^{ 2 \cdot \frac{x}{3-2x} } \]
  3. Por la propiedad de fracciones \( a \cdot ( \frac{b}{c} ) = a( \frac{b}{c} ) = \frac{ab}{c} \):
    \[ a^3 = x^{ \frac{3}{3-2x} } \聽 \color{red}{ \text{ y } } \ b^2 = \frac{2x}{3-2x} \]
  4. Dividiendo \( a^3 \) y \( b^2 \) y aplicando la propiedad \( \frac{ a^n }{ x^m } = a^{ n-m } \):
    \[ \begin{align} \frac{a^3}{b^2} & = \frac{ x^{ \frac{3}{3-2x} } }{ x^{ \frac{2x}{3-2x} } } \\ & = x^{ \frac{3}{3-2x} – \frac{2x}{3-2x} } \\ & = x^{ \frac{ 3-2x聽 }{ 3-2x } } \\ \frac{ a^3 }{ b^2 } & = x … ( \alpha ) \end{align} \]
  5. Por otro lado, elevando a la \( x \) la expresi贸n \( a = x^{ \frac{1}{3-2x} } \), tenemos:
    \[ \begin{align} a^{ x } & = ( x^{ \frac{1}{3-2x} } )^x \\ & = \overbrace{ x^{ \frac{x}{3-2x} } }^{b} \\ a^{x} & = b … ( \beta ) \end{align} \]
  6. Remplazando \( ( \alpha ) \) en \( ( \beta ) \), finalmente logramos:
    \[ a^{ \frac{ a^{3} }{ b^{2} } } = b \]
Si usamos las propiedades de radicaci贸n ya que implicitamente los exponentes fracionarios que tratamos en este ejercicio tiene que ver con radicaci贸n, lo podemos escribir as铆
\[ \begin{array}{ | c | } \hline聽 \large{ a^{ a^3 } = b^{ b^2 } } \\ \hline \end{array}聽 \]
Esto es, hemos extraido la ra铆z de \( b^2 \), quedando de esta manera finalizando el problema.

Ejercicio 8: Calcular el valor de \( a+b \) si se cumple la siguiente relaci贸n:

\[ 6^{2} + 8^{2} + 25^2 = a^2+b^2 \]

Donde \( a \) y \( b \) son enteros positivos. (Ayuda: use los n煤meros pitag贸ricos)

Soluci贸n:

  1. Haciendo \( 6^{2} = ( 3 \cdot 2 )^2 = 3^{2} \cdot 2^{2} \), \( 8^{2} = ( 4 \cdot 2 )^{2} = 4^{2} \cdot 2^{2} \) y \( 25^2 = 24^2 + 7^2 \) (ver tabla de n煤meros pitag贸ricos), tenemos:
    \[ 3^{2} \cdot 2^{2} + 4^{2} \cdot 2^{2} + 24^{2} + 7^{2} = a^{2} +b^{2} \]
  2. Factorizando \( 2^{2} \):
    \[ 2^{2} ( 3^2 + 4^2 ) + 24^{2} + 7^{2} = a^{2} + b^{2} \]
  3. Como \( 3^{2} + 4^{2} = 5^{2} \) por ser numero pitag贸rico y haciendo \( 24^{2} = ( 2 \cdot 12 )^{2} = 2^{2} \cdot 12^{2} \):
    \[ 2^{2} \cdot 5^{2} + 2^{2} \cdot 12^{2} +7^{2} = a^{2} + b^{2} \]
  4. Factorizando \( 2^{2} \):
    \[ 2^{2} ( 5^{2} + 12^{2} ) +7^{2} = a^{2} + b^{2} \]
  5. De la tabla de n煤meros pitag贸ricos encontramos que \( 5^{2} + 12^{2} = 13^{2} \):
    \[ 2^{2} \cdot 13^{2} + 7^{2} = a^{2} + b^{2} \]
  6. Como \( 2^{2} \cdot 13^{2} = ( 2 \cdot 13 )^{2} = 26^{2} \), resulta:
    \[ 26^{2} + 7^{2} = a^{2} + b^{2} \]
  7. Como solo nos pide calcular la suma de \( a \) y \( b \), no importa si \( a=7 \), \( b=26 \) 贸 \( a=26 \), \( b=7 \) ya que la suma siempre es conmutativa, por tanto, la suma es:
    \[ a+b = 26+7 = 7+26= \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ 33 } \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 9: Si se cumple que \( c^{ d^{ e } } = a \), \( e^{ d^{-e} } = c^{ b^{a} } \) y \( e=2 \), calcular el valor de la siguiente expresi贸n:

\[ \mathrm{E} = a^{ b^{ c^{ d^{ e } } } }聽 \]

Soluci贸n:

  1. Usando la condicion \(聽c^{ d^{ e } } = a聽\) en \( \mathrm{E} \):
    \[聽 \mathrm{E} = { \color{red}{ a } }^{ b^{a} }聽 \]
  2. Sin embargo, usaremos la misma condicion \(聽c^{ d^{ e } } = \color{red}{ a } \) pero en la base de color rojo de \( \mathrm{E} \), entonces:
    \[ \mathrm{E} =聽 ( c^{ \color{blue}{ d^{ e } } } )^{ \color{green}{ b^{a} } }聽 \]
  3. Aplicando la propiedad \( ( x^{ \color{blue}{ y } } )^{ \color{green}{ z } } = x^{yz} = ( x^{ \color{green}{ z } } )^{ \color{blue}{ x } } \), esto es, intercambiado exponentes, resulta:
    \[ \mathrm{E} =聽 ( c^{ \color{green}{ b^{a} } } )^{ \color{blue}{ d^{e} } } \]
  4. Usando la condici贸n \( e^{ d^{ -e } } = c^{ b^{a} } \):
    \[ \mathrm{E} =聽 ( e^{ d^{ -e } } )^{ d^{e} }聽 \]
  5. Usando la propiedad \( ( x^{y} )^{z} = x^{yz} \):
    \[ \mathrm{E} = e^{ d^{-e} \cdot d^{e} }聽 = e^{ d^{e-e} }聽 = e^{ \overbrace{ d^0 }^{ 1 } }聽 = e \]
  6. Como \( e = 2 \), finalmente obtenemos:
    \[ \begin{array}{ | c | } \hline \mathrm{E} = 2 \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 10: Resolver el valor de la siguiente expresi贸n:

\[ \mathrm{X} = ( x^y y^x – \frac{x^y}{x^y-1} – \frac{x^y}{y^x} )^{x+x^{2}+x^{3}} \]

Si se cumple聽\( \frac{1}{x^y} +\frac{1}{y^x} =1 \)

Soluci贸n:

  1. Por la propiedad de suma de fracciones heterog茅neas \( \frac{a}{m} + \frac{b}{n} = \frac{ an +bm }{nm} \) en la condici贸n del ejercicio:
    \[ \frac{ 1 \cdot y^{x} + 1 \cdot x^{y} }{ x^{y} \cdot y^{x} } = \frac{ y^{x} + x^{y} }{ x^{y} \cdot y^{x} } = 1 \]
  2. Despejando \( x^{y}聽 \cdot y^{x} \):
    \[ y^{x} + x^{y} = x^{y} y^{x} \]
  3. Despejando \( x^{y} \) y factorizando \( y^{x} \):
    \[ \begin{align} x^{y} & = x^{y} y^{x} – y^{x} \\ x^{y} & = y^{x} ( x^{y} -1 … ( \alpha ) ) \end{align} \]
  4. Despejando \( y^{x} \):
    \[ \frac{ x^{y} }{ x^{y} – 1 } = y^{x} … ( \beta ) \]
  5. Por otro lado, despejando \( x^{y} – 1 \) en la ecuaci贸n \( \alpha \):
    \[ \frac{ x^{y} }{ y^{x} } = x^{y} – 1 \]
  6. Despejando \( x^{y} \):
    \[ \frac{ x^{y} }{ y^{x} } + 1 = x^{y} \]
  7. Sumando esta ultima ecuaci贸n con \( \beta \):
    \[ \frac{ x^{y} }{ y^{x} } + \frac{ x^{y} }{ x^{y} – 1 } + 1 = x^{y} + y^{x} \]
  8. Como sabemos que \( x^{y} + y^{x} = x^{y} y^{x} \), resulta:
    \[ \frac{ x^{y} }{ y^{x} } + \frac{ x^{y} }{ x^{y} – 1 } + \color{red}{1} = x^{y} y^{x} \]
  9. Despejando la unidad \( \color{red}{1} \) en esta ultima ecuaci贸n:
    \[ x^{y} y^{x} – \frac{ x^{y} }{ y^{x} } – \frac{ x^{y} }{ x^{y} – 1 } = 1 \]
  10. Remplazando en nuestro ejercicio denotado por \( \mathrm{X} \), finalmente logramos el resultado deseado:
    \[ \mathrm{X} = 1^{ x + x^{2} + x^{3} } \\ \begin{array}{ | c | } \hline \mathrm{X} = 1 \\ \hline \end{array} \]

Si te gusto mi contenido, comp谩rtelo.

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Leyes de la potenciaci贸n
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