1. Expresión Algebraica

Expresión Algebraica

Este es una nueva y primera sección de expresiones matemáticas, en esta ocasión estudiaremos las expresiones algebraicas (una extensión de los polinomios) y en secciones posteriores estudiaremos las operaciones entre este tipo de expresiones.

La teoría de exponentes, la sección actual y posteriores representan las nociones básicas del álgebra elemental.

En álgebra elemental, se llama expresión algebraica a un conjunto de números y letras denominadas variables y asociadas de diversas maneras con las 6 operaciones algebraicas como son la sumas, restas, multiplicación, división, potenciación y radicación, tal que  no se admita variables ni números irracionales en los exponentes ni en los indices de las raíces, y no formen series infinitas. Veamos algunos ejemplos.

Propiedades algebraicas

Hablar de propiedades algebraicas es hablar de las mismas propiedades aritméticas muy usuales entre valores numéricos no variables, esto es, cumple igualmente en el álgebra elemental, nombraremos las propiedades de adicción y multiplicación a continuación:

  • Propiedad conmutativa: \( a+b=b+c \), \( ab = ba \)
  • Propiedad asociativa: \( a+(b+c) = (a+b)+c \), \( a(bc) = (ab)c \)
  • Propiedad distributiva: \( a(b+c) = ab + ac \)
  • Elemento neutro: \( a+0=a \), \( a\cdot 1 = a \)
  • Elemento opuesto: \( a + (-a) = 0 \), \( a \cdot \frac{1}{a} = 1 \)
Estas propiedades generalmente se les conoce como axiomas de los números reales, aunque hay mas propiedades, pero estas son las mas fundamentales. Estas propiedades aplica a la parte literal, esto es, las variables, en base a esto, te mostramos los siguientes ejemplos de una expresión algebraica.

Ejemplos:

Llamamos expresiones algebraicas a los siguientes ejemplos:

  • \( 2x^{2} \cdot \sqrt[3]{ y^{7} } \)
  • \( 3x^{2} y^{3} z^{-5} \)
  • \( \frac{2}{3} \sqrt[5]{a} b^{2} c^{-3} \)
  • \( \frac{3x}{y} + \sqrt[4]{ c^{3} } – 15 d^{3} \)

¿Que son las funciones trascendentales?

También se les denomina expresiones no algebraicas, estas expresiones no cumplen con la definición de una expresión algebraica, por esta razón se les llama funciones trascendentales.

Operadores no admitidos en las expresiones algebraicas

Los siguientes operadores no cumplen con el concepto de expresión algebraica.

  • Funciones trigonométricas.
  • Funciones logarítmicas.
  • Funciones exponenciales.
  • Sucesiones infinitesimales
  • Que los exponentes sean irracionales
  • Entre otros.

Si existe en nuestra fórmula algebraica existe una de estos operadores, entonces no son expresiones algebraicas.

Ejemplos:

  • \( 3x^{x} y^{z} + 1 \)
  • \( \sqrt[ x^{2} ]{y} + x^{ 4abc } – x^{ \sqrt{m} } \)
  • \( \log { xy^{z} } + \ln { \sqrt{mnp} } – a^{2} \)
  • \( \sin x^{3} + \ln { x^{xy} } \cos x^{ \frac{1}{2} } \)
  • \( 1 – \frac{ x^{2} }{ 2! } + \frac{ x^{4} }{ 4! } – \frac{ x^{6} }{ 6! } + \cdots \infty \)
  • \( 3x^{ \sqrt{3} } + y^{3} \)

¿Que es un termino algebraico?

Si bien es cierto que no existe un debate, tampoco hay un acuerdo con el concepto de termino algebraico, voy a mostrar una definición fuera de lo común para definir un termino algebraico.

Para definir un termino algebraico debemos tener en cuenta la jerarquía de las operaciones matemática teniendo en cuenta los paréntesis y es lo primero que veremos andes de su definición.

Jerarquía de las operaciones matemáticas

En matemáticas elemental, sabemos que primero se resuelven las operaciones de multiplicación y división y luego las sumas y restas. Por ejemplo, tenemos la siguientes operaciones numéricas:

  1. \( \overbrace{ 3 \times 2 }^{ 6 } + 5 = 6 + 5 = 11  \)
    Para resolver esta sencilla operación, primero comenzamos por la multiplicación y finalizamos con la suma, de esta manera obtenemos el resultado deseado. Otra operación sería la siguiente:
  2. \( (2+3) \times 5 = 5 \times 5 = 25 \)
    En este caso, primero es la suma antes de la multiplicación, eso debe a los paréntesis donde primero nos indica que debe resolverse primero la suma y luego la multiplicación. Veamos el siguiente ejemplo:
  3. \( \frac{6}{2} – 6 = 3 – 6 = -3 \)
    En este caso, primero debemos de resolver la división para luego sumar y obtener el resultado deseado.
  4. \( \frac{3+5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
    En este caso, primero debemos de sumar para luego dividir y obtener el resultado deseado.

Observe que los casos 1 y 3, los resultados finalizan con las operaciones de suma y resta, para el caso 2 y 4 finalizan con la multiplicación y división.

Llamaremos operaciones de mayor jerarquía si el resultado finaliza con algún operador determinado, por ejemplo, los casos 1 y 3 finalizan con la suma o resta, entonces estos operadores son de mayor jerarquía, pero si las operaciones finalizan con la división, multiplicación, potenciación o radicación, entonces estas operaciones son de mayor jerarquía.

Con este simple y sencillo concepto vamos a definir lo que es un termino algebraico.

definición de termino algebraico

Un termino algebraico es una expresión algebraica tal que su operador de mayor jerarquía no es ni la suma ni resta en su estructura.

Ejemplos:

  • \( \frac{1}{ x^{2} + x + 1 } \), jerarquía: división
  • \( \frac{ xy }{ x^{2} + xy + y^{2} } \), jerarquía: división
  • \( xy^{2} z^{3} w^{4} \), jerarquía: multiplicación
  • \( \frac{ \sqrt{ a^{3} } }{ a+1 } \), jerarquía: división
  • \( \sqrt[7]{ a^{14} b^{-21} + c^{7} } \), jerarquía: raíz
  • \( \frac{ x+y }{ x-y } \), jerarquía: división
  • \( x^{-3} y^{2} \), jerarquía: multiplicación
  • \( \frac{1}{2} x^{ \frac{1}{3} } y^{ – \frac{3}{4} } z \), jerarquía: multiplicación
  • \( (a+b)^{3} \), jerarquía: potenciación
Como ninguna de estas expresiones tiene como jerarquía la resta ni la suma, entonces son términos algebraicos.

Partes de un termino algebraico

Ahora veremos las partes o elementos que determinan a un termino algebraico, veamos un ejemplo visual para indicar cada una de sus partes en colores:

\[ \color{green}{-} \frac{ \color{purple}{ \sqrt[3]{7} } \color{red}{ abc }  }{ \color{red}{ a^{2} } \color{green}{+} \color{red}{ a } \color{green}{-} \color{red}{b} } \]

  1. Los signos negativo y positivo \( \color{green}{-} \) y \( \color{green}{+} \).
  2. Las variables \( \color{red}{a} \), \( \color{red}{a} \) y \( \color{red}{c} \).
  3. Coeficiente \( \color{purple}{ \sqrt[3]{7} } \).
  4. Los exponentes \( \color{blue}{2} \) y \( \color{blue}{1} \).

Se sobreentiende que el exponente \( \color{blue}{1} \) se encuentra en las variables \( \color{red}{a} \), \( \color{red}{b} \) y \( \color{red}{c} \). Por tanto, esta expresión es un termino algebraico ya que el operador de mayor jerarquía es la división que separa las expresiones \( \sqrt[3]{7} abc \) y \( a^{2} + b  – c \)

Términos semejantes

Llamamos términos semejantes aquellos términos algebraicos que tiene un factor en común formado únicamente por variables, es decir, el único factor diferenciador sería solo el coeficiente del termino algebraico.

Ejemplos

  • \( \frac{3}{4} x^{3} y^{ \frac{1}{7} } x^{ – 3 \sqrt{7} } \), \( -3 x^{3} y^{ \frac{1}{7} } x^{ – 3 \sqrt{7} } \), \( – \sqrt{3} x^{3} y^{ \frac{1}{7} } x^{ – 3 \sqrt{7} } \)
  • \( 4 a^{2} b^{3} c^{ \frac{4}{3} } \), \( \frac{1}{2} a^{2} b^{3} c^{ \frac{4}{3} } \), \( – \sqrt{7} a^{2} b^{3} c^{ \frac{4}{3} } \)
  • \( 5amz \), \( – \frac{10}{3} amz \), \( 2amz \)
  • \( \frac{ 2 \sqrt{3} x^{2} }{ \sqrt[3]{ x^{5} } + 2x – 1 } \), \( \frac{ \sqrt{3} x^{2} }{ \sqrt[3]{ x^{5} } + 2x – 1 } \), \( \frac{ 4 \sqrt{3} x^{2} }{ \sqrt[3]{ x^{5} } + 2x – 1 } \)

Clasificación de las expresiones algebraicas

Existen varios tipos de expresiones algebraicas y se pueden clasificar en dos grupos, esto es, en racionales e irracionales

Expresión algebraica racional (EAR)

Llamamos expresión algebraica racionales cuando sus exponentes de las variables son números enteros, de estas se puede subdividir en expresión algebraica racional entera y fraccionaria.

Racional entera

Llamamos expresión algebraica racional entera cuando sus exponentes de las variables son enteros positivos y no admite la operaciones de división entre variables.

Este tipo de expresiones algebraicas se les llama polinomios. Veamos algunos ejemplos:

  • \( -4a^{2} b^{3} c^{4} + 2a – 3bc^{3} – \sqrt{3} \)
  • \( \sqrt{5} y w^{3} – 3x^{2} w + 3 \)
  • \( 13 x^{2} z + \frac{1}{3} abc \)

Nota: un numero real o constante numérica diferente de cero por si sola es una expresión algebraica racional entera, es decir, es de exponente nulo de una variable cualquiera diferente de cero como \( 3 = 3x^{0} = 3a^{0}b^{0} \).

Este tipo de expresiones algebraicas se les puede clasificar según el numero de términos así:

  • Monomios: Un solo termino algebraico.
  • Binomios: Dos términos algebraicos.
  • Trinomios: tres términos términos algebraicos.
  • Polinomios: varios términos algebraicos.
Los polinomios serán estudiados con mayor detalle en una próxima sección.

Racional fraccionaria

Llamamos expresión algebraica racional fraccionaria cuando por lo menos existe una variable con exponente negativo o una fracción donde se admita por lo menos una variable en el denominador. Veamos algunos ejemplos:

  • \( 4x^{-2} + 5x^{-1} + 3 \)
  • \( \frac{3}{5} abc^{-6} + \frac{b}{a+c} – \frac{1}{ c^{2} – 1 } \)
  • \( \frac{ x^{2} }{ x+1 } – \frac{ x^{3} }{ x^{2} + 1 } + \frac{ x^{4} }{ x^{3} + 1 } \)

Expresión algebraica irracional

Llamamos expresión algebraica irracional si existe por lo menos una variable con exponente fraccionario o un radical. Veamos algunos ejemplos:

  • \( 3 \sqrt{x} yz – x^{2} + yz \)
  • \( -3 a^{ \frac{1}{2} } b^{3} + a \)
  • \( 2x + 3x^{2} + \frac{1}{2} x^{ \frac{2}{3} } \)
  • \( \sqrt[7]{ a^{14} b^{-21} + c^{7} } \)

Expresión matemática

Las expresiones matemáticas engloba tanto las expresiones algebraicas y no algebraicas o trascendentales. En el siguiente diagrama podemos clasificar por el diagrama del árbol de la siguiente manera:

Representación simbólica de una expresión algebraica según sus variables

Es importante representar las expresiones algebraicas por letras mayúsculas indicando que variables se están usando, veamos algunos ejemplos:

  • \( \mathrm{F} (x,y,z) = x^{ \frac{1}{2} } + y^{ \frac{1}{3} } + z^{ \frac{1}{4} } \)
  • \( \mathrm{H} (a,b) = \frac{ ab }{ a+b } – \frac{ a+b }{ ab } \)
  • \( \mathrm{G} (m,n,p) = m^{2} n + mn + mn^{2} – mnp \)

Aunque esta representación no excluye a las funciones trascendentales.

Grado algebraico

El grado es una característica de la potenciación de una expresión algebraica y se mide desde sus exponentes de las variables, existen dos tipos, una es el grado relativo y el grado absoluto.

Si tenemos una expresión algebraica \( \mathrm{F} (x,y,z) \), el grado se denota así \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{F} (x,y,z) ] \), la medida del grado algebraico depende también de las operaciones que se involucre en la expresión algebraica, este ultimo lo veremos en un recuadro mas adelante.

Grado relativo

EL grado relativo de una expresión algebraica se mide desde una variable seleccionada. Si tenemos una expresión algebraica \( \mathrm{F} (x,y,z) \), y queremos medir el grado de la variable \( y \), lo representamos así \( \mathrm{Gr}_{y} [ \mathrm{F} (x,y,z) ] \) o simplemente \( \mathrm{Gr}_y [ \mathrm{F} ] \). Ahora veamos el grado relativo de un termino algebraico y luego de una expresión algebraica.

Grado relativo de un termino algebraico

El grado relativo de un termino algebraico se mide según el exponente respecto a la variable seleccionada del termino algebraico. A modo de ejemplo, sea el siguiente termino algebraico:

\[ \mathrm{F} (x,y,z) = x^{2} y^{ \frac{3}{2} } z^{-4} \]

El grado relativo con respecto a \( x \), \( y \) y \( z \) son:

  • \( \mathrm{Gr}_x [ \mathrm{F} ] = 2 \)
  • \( \mathrm{Gr}_y [ \mathrm{F} ] = \frac{3}{2} \)
  • \( \mathrm{Gr}_z [ \mathrm{F} ] = -4 \)
Sin embargo, el grado relativo depende si existen operadores implicadas en un termino algebraico, veamos los siguientes casos con sus respectivos ejemplos:
Termino algebraicoMétodoResultado 
\[ \mathrm{F} (x,y) = x^{2} y^{ \frac{1}{2} } \]Exponente de la variable.\[ \mathrm{Gr}_y [ \mathrm{F} ] = \frac{1}{2} \] \[ \mathrm{Gr}_x [ \mathrm{F} ] = 2 \]
\[ \mathrm{F} (x,y) = \frac{ \color{red}{ x^{5} } \color{green}{ y^{4} } }{ 2 \color{red}{ x^{3} } + \color{green}{ y^{2} } + 2 } \]Los exponentes se restas si existe división entre variables.\[ \mathrm{Gr}_x [ \mathrm{F} ] = \color{red}{ 5-3 = 2 } \] \[ \mathrm{Gr}_y [ \mathrm{F} ] = \color{green}{ 4-2 = 2 } \]
\[ \mathrm{F} (x,y) = ( \color{red}{ x^{-3} } \color{purple}{ y^{ \frac{1}{3} } } )^{ \color{green}{ 2}  } \]Los exponentes se multiplican si un termino algebraico es elevado a una potencia dada.\[ \mathrm{Gr}_x [ \mathrm{F} ] = ( \color{red}{ -3 } ) \cdot \color{green}{ 2 } = -6 \] \[ \mathrm{Gr}_y [ \mathrm{F} ] = ( \color{purple}{ \frac{1}{3} } ) \cdot \color{green}{ 2 } = \frac{2}{3} \]
\[ \mathrm{F} (x,y,z) = \sqrt[ \color{maroon}{7} ]{ \color{red}{ x^{14} } \color{purple}{ y^{-21} } + \color{blue}{ x^{7} } } \]Los exponentes se dividen por la presencia de radicales.\[ \mathrm{Gr}_x [ \mathrm{F} ] = \frac{ \color{red}{ 14 } }{ \color{maroon}{7} } = 2 \]\[ \mathrm{Gr}_y [ \mathrm{F} ] = \frac{ \color{purple}{ -21 } }{ \color{maroon}{ 7 } } = -3 \] \[ \mathrm{Gr}_z [ \mathrm{F} ] = \frac{ \color{blue}{7} }{ \color{maroon}{7} } = 1 \]

Grado relativo de una expresión algebraica

Llamamos grado relativo de una expresión algebraica al máximo grado relativo de uno de los términos de dicha expresión algebraica según la variable seleccionada. Veamos los siguientes casos:

Termino algebraicoMétodoResultado
\[ \mathrm{F} = \color{purple}{ x^{2} } y + x \color{red}{ y^{ \frac{9}{2} } } – \sqrt[3]{ xyz+1 } \]El mayor exponente de uno de los términos de una variable.\[ \mathrm{Gr}_x [ \mathrm{F} ] = \color{purple}{ 2 } \]
\[ \mathrm{Gr}_y [ \mathrm{F} ] = \color{red}{ \frac{9}{2} } \]
\[ \mathrm{ F } (a,b) = 3a+2b+ \frac{ \color{red}{ 4a^{7} } b^{4} }{ \color{red}{ a^{2} } + 2ab^{3} } – \frac{ 5a^{4} \color{purple}{ b^{5} } }{ 1+a+3 \color{purple}{b} } \]La máxima diferencia entre exponente de una variable si existe una división entre variables.\[ \mathrm{Gr}_a [ \mathrm{F} ] = \color{red}{ 7-2 } =5 \]
\[ \mathrm{Gr}_b [ \mathrm{F} ] = \color{purple}{ 5-1 } = 4 \]
\[ \mathrm{F} (a,b) = ( \color{red}{ a^{-4} } b^{2} )^{ \color{green}{5} } + ( a^{-7} \color{purple}{ b^{4} } )^{ \color{green}{3} } – 4 \]Es el máximo producto entre los exponentes de uno de los términos de una variable.\[ \mathrm{Gr}_a [ \mathrm{F} ] = ( \color{red}{-4} ) \color{green}{5} = -20 \]
\[ \mathrm{Gr}_b [ \mathrm{F} ] = ( \color{purple}{4} ) \color{green}{3} = 12 \]
\[ \mathrm{F} = \sqrt[ \color{green}{4} ]{ \color{red}{ a^{16} } \color{purple}{ b^{12} } + 2 } – a^{3} b + \sqrt{ a^{4} + b^{2} + 4 } \]Es la máxima división entre exponentes de uno de los términos de una variable.\[ \mathrm{Gr}_a [ \mathrm{F} ] = \frac{ \color{red}{16} }{ \color{green}{4} } = 4 \]
\[ \mathrm{Gr}_b [ \mathrm{F} ] = \frac{ \color{green}{12} }{ \color{green}{4} } = 3 \]

Grado absoluto

El grado absoluto es la máxima suma de los exponentes de uno de los términos de una expresión algebraica y no es especifico a una sola variable.

Sin embargo, solo es aplicable para aquellas expresiones algebraicas donde no existe los operadores de suma o resta en sus términos algebraicos.

Grado absoluto de un termino algebraico

El grado absoluto es la suma resultante de todas los exponentes de las variables del termino algebraico. Veamos algunos ejemplos:

  • \( \mathrm{F} (a,b,c) = x^{2} y^{3} z^{-4} \), su grado absoluto es \( \mathrm{Gr}( \mathrm{F} ) = 2+3-4 = 1 \)
  • \( \mathrm{F} (x,y,z) = (x^{-3} y^{5} z^{ \frac{1}{3} } )^{ – \frac{3}{2} } \), su grado absoluto es \( \mathrm{Gr} [F] = ( -3 + 5 + \frac{1}{3} )( – \frac{3}{2} ) = – \frac{7}{2} \)

Grado absoluto de una expresión algebraica

Es el mayor grado absoluto de uno de los términos de una expresión algebraica. Por ejemplo, si sumamos los términos anteriores del ejemplo anterior, resulta:

\[ \mathrm{F} (x,y,z) = ( x^{-3} y^{5} z^{ \frac{1}{3} } ) + x^{2} y^{3} z^{-4} \]

El grado absoluto sería:

\[ \mathrm{Gr} [ \mathrm{F} ] = 1 \]

Se elige el mayor grado absoluto de uno de los términos \( ( x^{-3} y^{5} z^{ \frac{1}{3} } )^{ – \frac{3}{2} } \) y \( x^{2} y^{3} z^{-4} \).

Grado absoluto con operaciones algebraicas

Para obtener el grado entre operaciones algebraicas, seguiremos una regla general cuando admitimos operaciones entre dos expresiones algebraicas.

Como estamos tratando solo con grados absolutos, debemos tener en cuenta que que los términos de la expresión algebraica no se admitan las operaciones de suma y resta.

Sean dos expresiones algebraicas \( \mathrm{P} (x,y,z) \) y \( \mathrm{Q} (x,y,z) \) y dos grados absolutos \( \mathrm{Gr} [P] \) y \( \mathrm{Gr} [Q] \) y tal que \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] > \mathrm{Gr} [ \mathrm{Q} ] \), se cumple las siguientes propiedades:

  • Suma: \( \mathrm{P} (x,y,z) + \mathrm{Q} (x,y,z) \), su grado es \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] \).
  • Resta: \( \mathrm{P} (x,y,z) – \mathrm{Q} (x,y,z) \), su grado es \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] \).
  • Multiplicación: \( \mathrm{P} (x,y,z) \cdot \mathrm{Q} \), su grado es \( \mathrm{ Gr } [ \mathrm{P} ] + \mathrm{Gr} [ \mathrm{Q} ] \).
  • División: \( \mathrm{P} (x,y,z) / \mathrm{Q} (x,y,z) \), su grado es \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] – \mathrm{Gr} [ \mathrm{Q} ] \).
  • Potenciación: \( [ \mathrm{P} ]^{n} \), su grado es \( n \cdot \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] \).
  • Radicación: \( \sqrt[n]{ \mathrm{P} (x,y,z) } \), su grado es \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] / n \).

Esta sección no debe confundirse con la próxima sección de polinomios; queremos dejar en claro que una expresión algebraica no es lo mismo que una expresión matemática y tampoco con un polinomio.

De hecho, un polinomio es una expresión algebraica y a su vez una expresión matemática.

Valor numérico de una expresión algebraica

Es un valor que toma una expresión algebraica cuando le asignamos valores específicos numéricos a sus variables.

Por ejemplo, sea la siguiente expresión, digamos, una racional entera pero de una variable para simplificar los cálculos, tenemos:

\[ \mathrm{P} (x) = 2x^{2} – 3x + 4 \]

Si le asignamos valores numéricos a la variable \( x \) de los primeros 4 valores de los números naturales, obtenemos los siguientes resultados:

  • Para \( x=1 \), se obtiene \( \mathrm{P} (1) = 2(1)^{2} – 3(1) + 4 =3 \).
  • Para \( x=2 \), se obtiene \( \mathrm{P} (2) = 2(2)^{2} – 3(2) + 4 \).
  • Para \( x=3 \), se obtiene \( \mathrm{P} (3) = 2(3)^{2} – 3(3) +4 \).
  • Para \( x=4 \), se obtiene \( \mathrm{P} (4) = 2(4)^{2} – 3(4) + 4 \).
Si quieres ejemplos y ejercicios de este tema, dirígete a la sección de valor numérico.

operaciones con expresiones algebraicas (introducción)

Esta sección se centra en un resumen básico de las 4 operaciones aplicados a las expresiones algebraicas, veamos cada una de ellas.

Suma algebraica

Si la mayor jerarquía de una expresión algebraica es la adicción, estamos tratando con la suma algebraica, por ejemplo:

Ejemplos con términos no semejantes

Cuando los términos no son semejantes, generalmente se deja denotado tal como esta.

  • \( a^{2} \color{red}{+} b^{2} \)
  • \( x \color{red}{+} y \color{red}{+} z \)
  • \( \sqrt[3]{ x^{3} \color{red}{+} y^{2} \color{red}{+} z \)

Ejemplos con términos semejantes

Cuando los términos son semejantes, podemos efectuar la suma dependiendo del signo de los coeficientes, veamos:

  • \( 2a + 3a = (2+3)a = 5a \)
  • \( \frac{ -6x }{ab+c} + \frac{ 4x }{ab+c} = (-6+3) ( \frac{ x }{ ab+c } ) =\frac{ -3x }{ab+c} \)
  • \( 4\sqrt[6]{ x^{2} + y^{2} + x^{2} } – 2 \sqrt[6]{ x^{2} + y^{2} + x^{2} } = (4-2) \sqrt[6]{ x^{2} + y^{2} + z^{2} } \)

Resta algebraica

La resta es una operación opuesta a la suma, es objetiva es quitar en lugar de añadir, sin embargo, desde el punto de vista de álgebra elemental, hay situaciones donde sumar es agregar, veamos su representación simbólica:

Ejemplos con términos no semejantes

Como en el caso anterior, el símbolo de sustracción se mantiene cuando no es posible realizar la resta entre términos no semejantes.

  • \( a \color{red}{-} b \)
  • \( \frac{ \sqrt{x} + \sqrt{y} }{ \sqrt{z} } \color{red}{-} \sqrt{abc} \)
  • \( \sqrt[4]{ x^{2} + y^{3} + z^{4} } \color{red}{-} \sqrt[3]{x+y+z} \)

Ejemplos con términos semejantes

Cuando los términos son semejantes, es posible realizar las operaciones correspondientes, aplicar la operación de sustracción es posible cuando los términos algebraicos tiene factores semejantes, veamos:

  • \( 14x – 15x = (14-15)x = -x \)
  • \( 6a \sqrt{x+y} – 3a \sqrt{x+y} = 3a \sqrt{x+y} \)
  • \( \frac{ 7x^{2} }{ \sqrt{x} + \sqrt{y} } – \frac{ 3x^{2} }{ \sqrt{x} + \sqrt{y} } \)

Multiplicación algebraica algebraica

Aquí deben aplicarse las propiedades de teoría de exponentes y las leyes asociativas distributiva para realizar la multiplicación que indicamos mas arriba, también deben respetarse la ley de los signos para la multiplicación.

Leyes de potenciación para la multiplicación

\[ a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \]

\[ ( ab )^{n} = a^{n} \cdot a^{m} \]

Ley de signos para la multiplicación

\[ (+)(+) = + \]

\[ (-)(-) = – \]

\[ (+)(-) = – \]

\[ (-)(+) = – \]

Ejemplos

  • \( 2x \cdot 3x^{2} = ( 2 \cdot 3 )( x \cdot x^{2} ) =6 x^{1+2} = 6x^{3} \)
  • \( 3x^{3} y^{2} \cdot \frac{ 4x^{2} y }{z} = \frac{ 3 x^{3} \cdot 4x^{2} }{z} = \frac{ ( 3 \cdot 4 ) ( x^{3} \cdot x^{2} ) }{z} = \frac{ 12 x^{3+2} }{z} = \frac{ 12x^{5} }{z} \)
  • \( \frac{ x^{2} }{ y^{3} } \cdot \frac{ y }{ x } = \frac{ x^{2} \cdot y }{ y^{3} \cdot x } = \frac{ x^{2} \cdot y }{ x \cdot y^{3} } = \frac{ x^{2} }{x} \cdot \frac{ y }{ y^{3} } = x^{2-1} \cdot \frac{1}{ y^{3-1} } = x \cdot \frac{1}{ y^{2} } = \frac{x}{ y^{2} } \)
  • \( ( x+y )z = x \cdot z + y \cdot z = xz+yz \)
  • \( (x^{2} +y)(z+x) = (x^{2} + y)z + (x^{2} + y)x = x^{2}z + yz + \overbrace{ x^{2} \cdot x }^{ x^{2+1} } + yx = x^{2} z + yz + x^{3} + yx \)
  • \( (-2y) (4y^{4}) = ( -2 \cdot 4 ) y^{ y \cdot y^{4} } = -8 \)

División algebraica

Existe cierto grado de dificultad al dividir expresiones algebraicas y es un tema que lo veremos en secciones posteriores, aquí solo realizaremos divisiones sencillas.

Tener en cuenta las propiedades de las leyes de exponentes y la ley de signos para la división. Solo mostraremos ejemplos sencillos:

Ejemplos

\( \require{cancel} \frac{m \cancel{n} }{ \cancel{n} } = m \)

\( \frac{ x^{2} + xy }{x} = \frac{ x^{2} }{x} + \frac{ \cancel{x} y }{ \cancel{x} } = x^{2-1} + y = x+y \)

\( \frac{ -a^{2} b + a^{3} }{ -a^{2} } = \frac{ -a^{2} b }{ -a^{2} } + \frac{ a^{3} }{ -a^{2} } = \underbrace{ \frac{-1}{-1} }_{ 1 } \cdot \frac{ \cancel{ a^{2} } b }{ \cancel{ a^{2} } } + \underbrace{ \frac{ 1 }{ -1 } }_{ -1 } \cdot \frac{ a^{3} }{ a^{2} } = (1)ab \underbrace{ + (-1) }_{ -1 } a^{3-2} = ab – a \)

En secciones posteriores llamada división algebraica veremos otras formas de dividir según el tipo de expresión algebraica, sobre todo los tipos de polinomios que queremos dividir. De esta manera finalizamos la sección actual.

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